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2023年陕西师大附中高考数学三模试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知集合A＝{x∈N|﹣2≤x≤5}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（　　）

A.．{0，1，2，3，4，5，6}	B.{1，2，3，4，5，6}
C.{2，4}	D.{x\|﹣2≤x≤6}

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2. （本题5分）已知i为虚数单位，若

，则b^a＝（　　）

A.．2

C.1

D.．

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3. （本题5分）已知一直角梯形的高为2，上下底边长分别为1和2，将该梯形绕着垂直于底边的一腰旋转一周所得几何体体积为（　　）

A.14π

D.10π

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4. （本题5分）英国化学家、物理学家亨利•卡文迪许被称为第一个能测出地球质量的人，卡文迪许是从小孩玩的游戏（用一面镜子将太阳光反射到墙面上，我们只要轻轻晃动一下手中的镜子，墙上的光斑就会出现大幅度的移动，如图1）得到灵感，设计了卡文迪许扭秤实验来测量万有引力，由此计算出地球质量，他在扭秤两端分别固定一个质量相同的铅球，中间用一根韧性很好的钢丝系在支架上，钢丝上有个小镜子，用激光照射镜子，激光反射到一个很远的地方，标记下此时激光所在的点，然后用两个质量一样的铅球同时分别吸引扭秤上的两个铅球（如图2），由于万有引力作用，根秤微微偏转，但激光所反射的点却移动了较大的距离，他用此计算出了万有引力公式中的常数G，从而计算出了地球的质量．在该实验中，光源位于刻度尺上点P处，从P出发的光线经过镜面（点M处）反射后，反射光线照射在刻度尺的点Q处，镜面绕M点顺时针旋转a角后，反射光线照射在刻度尺的点Q'处，若△PMQ是正三角形．PQ＝a，QQ'＝b（如图3），则下列等式中成立的是（　　）

A.	B.
C.．	D.

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5. （本题5分）已知空间向量

＝

，|

|＝2，|

|＝3，|

|＝4，则cos＜

，

＞＝（　　）

B.．

C.﹣

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6. （本题5分）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为：M＝M₀e^﹣kt（其中M₀，k是正常数）．已知经过1h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（　　）（参考数据：lg2＝0.3010）

A.3h

B.．4h

C.．5h

D.．6h

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7. （本题5分）我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y～B（n，p），当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了

的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为（　　）
（附：若X～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973）

A.0.1587

B.．0.0228

C.0.0027

D.．0.0014

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8. （本题5分）已知椭圆C：

的焦点为F₁，F₂，P为椭圆C上一点且PF₁⊥PF₂，则||PF₁|﹣|PF₂||＝（　　）

B.．

C.．

D.．

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9. （本题5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx，其中ω＞0．若f（x）在区间

上单调递增，则ω的取值范围是（　　）

A.（0，4]

D.．

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10. （本题5分）已知a＝5ln9，b＝6ln8，c＝7ln7，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.b＞c＞a

B.．c＞b＞a

C.．a＞c＞b

D.．a＞b＞c

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11. （本题5分）已知大小为60°的二面角α﹣l﹣β棱上有两点A，B，AC⊂α，AC⊥l，BD⊂β，BD⊥l，若AC＝3，BD＝3，

，则CD的长为（　　）

A.22

B.49

C.7

D.．

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12. （本题5分）已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，若y＝f（2x+1）的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（　　）①

②

③f（x）的一个对称中心为（1，0）
④f（x）的一条对称轴为

A.1个

B.．2个

C.．3个

D.．4个

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是　．

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14. （本题5分）设函数

，不等式f（sinx）＜f（cosx）的解集为　　．

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15. （本题5分）已知双曲线C：

（a＞0，b＞0）的左焦点为F，过F的直线与圆x²+y²＝a²相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若|PQ|＝2|QF|，则双曲线C的离心率为　．

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16. （本题5分）已知直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，AA₁＝3，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，底面ABCD为平行四边形，侧棱AA₁⊥底面ABCD，以D₁为球心，半径为2的球面与侧面BCC₁B₁的交线的长度为　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，

，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明：AC⊥SB；
（2）求二面角N﹣CM﹣B正弦值的大小．

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18. （本题12分）已知数列{a_n}是等差数列，a₁＝1，且a₁，a₂，a₅﹣1成等比数列．给定k∈N^*，记集合

的元素个数为b_k．
（1）求b₁，b₂，b₃的值；
（2）设数列{b_n}的前n项和为S_n，判断数列{S_n}的单调性，并证明．

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19. （本题12分） 2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权．在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺．这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署．从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌．“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y（单位亿）的数据如下表：

年度	2016﹣2017	2017﹣2018	2018﹣2019	2019﹣2020	2020﹣2021	2021﹣2022
年度代号t	1	2	3	4	5	6
旅游人次y	1.7	1.97	2.24	0.94	2.54	3.15

（1）求y与t的相关系数（精确到0.01），并回答y与t的线性相关关系的强弱；
（2）因受疫情影响，现将2019﹣2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y关于t的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019﹣2020年度冰雪旅游人次的估计值．
附注：参考数据：

，

．参考公式：相关系数

，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

．

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20. （本题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C与圆

内切，且与直线x＝﹣2相切，设动圆圆心C的轨迹为曲线E．
（1）求E的方程；
（2）已知P（4，y₀）（y₀＞0）是曲线E上一点，A，B是曲线E上异于点P的两个动点，设直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且

，请问：直线AB是否经过定点？若是，请求出该定点，若不是，请说明理由．

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21. （本题12分）已知函数

．
（1）设g（x）＝xf（x），求g（x）的单调区间；
（2）求证：存在恰有2个切点的曲线y＝f（x）的切线．

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22. （本题10分）已知曲线C₁的参数方程为

（t为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C₂的极坐标方程ρ＝4cosθ．
（1）求C₁的直角坐标方程；
（2）若曲线

与曲线C₁、曲线C₂分别交于A，B两点，点P（4，0），求△PAB的面积．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝|x﹣a|+2|x+1|．
（1）当a＝1时，解关于x的不等式f（x）≤6；
（2）已知g（x）＝|x﹣1|+2，若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使得f（x₁）＝g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

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dygzsxyn

2023-04-08

高中数学 | 模考 | 难度:1.39

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