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2022-2023学年陕西省西安市长安一中高二（下）第二次月考数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知集合A＝{x|x＜2}，

，则A∩B＝（　　）

A.．∅

B.{x|x＞2}

C.．{x|x＜﹣3}

D.{x|x≤﹣3或x≥2}

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2. （本题5分）若复数z＝

，则|z|＝（　　）

A.1

B.．

C.．5

D.5

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3. （本题5分）过直线y＝kx﹣2上任意一点，总存在直线与圆x²+y²＝1相切，则k的最大值为（　　）

A.．

B.．

C.．1

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4. （本题5分）已知

，则（　　）

A.a＞b＞c

B.．a＞c＞b

C.．b＞a＞c

D.．b＞c＞a

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5. （本题5分）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁﹣18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如图．根据图可得这100名学生中体重在[56.5，64.5]的学生人数是（　　）

A.20

B.．30

C.．40

D.．50

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6. （本题5分）运行如图所示的程序，输出的结果为（　　）

A.12

B.．10

C.．9

D.．8

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7. （本题5分）若变量x，y满足约束条件

则目标函数z＝2x﹣y的最小值是（　　）

A.﹣3

B.．0

C.．

D.．

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8. （本题5分）将函数y＝sin（2x+

）的图象向右平移

个单位长度，所得图象对应的函数（　　）

A.在区间[，]上单调递增

B.．在区间[，π]上单调递减

C.．在区间[，]上单调递增

D.．在区间[，2π]上单调递减

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9. （本题5分）甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（　　）

C.．

D.．

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10. （本题5分） “垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的

．若这堆货物总价是25﹣60

万元，则n的值为（　　）

A.7

B.8

C.．9

D.．10

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11. （本题5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）+f（x）＝0，当x∈[0，1]时，f（x）＝x²，则函数g（x）＝xf（x）﹣1在区间[﹣6，6]上所有零点的个数为（　　）

A.．0

B.．2

C.4

D.．6

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12. （本题5分）如图，直径为4的球放地面上，球上方有一点光源P，则球在地面上的投影为以球与地面切点F为一个焦点的椭圆，已知是A₁A₂椭圆的长轴，PA₁垂直于地面且与球相切，PA₁＝6，则椭圆的离心率为（　　）

B.．

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）已知向量

满足

且

，则

的夹角为　．

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14. （本题5分）二项式

的展开式中常数项为60，则m＝　．

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15. （本题5分）已知a，b为正实数，且a+b＝2，则

的最小值为　

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16. （本题5分）已知抛物线C：y²＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为

且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝8，则以下结论①p＝4，②

，③|BD|＝2|BF|，④|BF|＝4，正确的序号是．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）已知a、b、c分别是锐角△ABC三个内角A、B、C的对边，△ABC面积为S，且

．
（1）求A；
（2）求

取最大值时角B的大小．

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18. （本题12分）阿基米德是古希腊伟大的哲学家、数学家、物理学家，对几何学、力学等学科作出过卓越贡献．为调查中学生对这一伟大科学家的了解程度，某调查小组随机抽取了某市的100名高中生，请他们列举阿基米德的成就，把能列举阿基米德成就不少于3项的称为“比较了解”，少于三项的称为“不太了解”他们的调查结果如下：

	0项	1项	2项	3项	4项	5项	5项以上
理科生（人）	1	10	17	14	14	10	4
文科生（人）	0	8	10	6	3	2	1

（1）完成如下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为，了解阿基米德与选择文理科有关？

	比较了解	不太了解	合计
理科生
文科生
合计

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分层抽样的方法抽取10人的样本．
（ⅰ）求抽取的文科生和理科生的人数；
（ⅱ）从10人的样本中随机抽取3人，用X表示这3人中文科生的人数，求X的分布列和数学期望．参考数据：

P（K²≥k₀）	0.100	0.050	0.010	0.001
k₀	2.706	3.841	6.635	10.828

，n＝a+b+c+d．

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19. （本题12分）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC内的射影恰好是点C，点D是AC的中点，且DA＝DB．
（1）证明：AB⊥CC₁；
（2）已知AC＝4，BC＝2，直线BB₁与底面ABC所成角的大小为

，求二面角C﹣BD﹣C₁的大小．

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20. （本题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：

的焦距为4，过点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为

，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．若点P在椭圆E上，证明：

为定值，并求出该定值．

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21. （本题12分）已知函数

．
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）若对任意a∈（﹣4，﹣3），当x₁，x₂∈[1，4]时，均有（m+ln4）•a＞|f（x₂）﹣f（x₁）|+3ln4成立，求实数m的取值范围．

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22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线

（β为参数），将曲线C₁上的所有点的横坐标缩短为原来的

，纵坐标缩短为原来的

后得到曲线C₂．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程

．
（1）求曲线C₂的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C₁交于不同的两点A、B，已知点

，求|MA|•|MB|的值．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣|x﹣1|．
（1）若正数a，b，满足a+2b＝f（﹣1），求

的最小值；
（2）解不等式f（x）

．

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dygzsxyn

2023-06-26

高中数学 | 段考 | 难度:1.74

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