已知正方体中分别为的中点则直线与所成角的余弦值为平面与平面夹角的余弦值为在上存在点使得在上存在点使得平面

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231974. （2024•师大附中•高一下二月）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为CC₁，C₁D的中点，则（　　）

A.直线MN与A₁C所成角的余弦值为

B.．平面BMN与平面BC₁D₁夹角的余弦值为

C.在BC₁上存在点Q，使得B₁Q⊥BD₁

D.在B₁D上存在点P，使得PA∥平面BMN

共享时间:2024-06-19 难度:3

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[考点]

异面直线及其所成的角，直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

[解析]

解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，

所以A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A₁（1，0，1），
D₁（0，0，1），B₁（1，1，1），C₁（0，1，1），

，
对于A，

，

，
直线MN与A₁C所成角的余弦值为：

，故A错误；
对于B，

，

，
设平面BMN的法向量为

，
则由

，

，可得

，
取x＝1，可得y＝0，z＝2，所以

，

，
设平面BC₁D₁的法向量为

，
则由

，

，可得

，
取x₁＝1，可得y₁＝0，z₁＝1，所以

，
则平面BMN与平面BC₁D₁夹角的余弦值为：

，故B正确；
对于C，因为Q在BC₁上，设Q（x₀，1，z₀），
所以

，0≤λ≤1，
则

，
所以x₀＝λ，z₀＝﹣λ+1，所以Q（λ，1，﹣λ+1），
则

，
所以

，解得

．
故BC₁上存在点

，使得B₁Q⊥BD₁，故C正确；
对于D，因为MN∥DC∥AB，所以N，M，B，A四点共面，
而A∈平面BMN，
所以B₁D上不存在点P，使得PA∥平面BMN，故D错误．
故选：BC．

[点评]

本题考查了"异面直线及其所成的角，直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"典型题"，熟悉题型是解题的关键。

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共享时间:2023-10-28 难度:3 相似度:1.34

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