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166517. (2024•城关中学•高二上二月) 在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4cm,|BC|=|CC1|=2cmEF分别为ABCD的中点,P是线段A1B1(不含端点)上的任意一点,下述说法正确的是(  )

A.存在点P,使直线PE与平面PDF所成角取得最大值

B.存在点P,使直线PD与平面PEB所成角取得最大值

C.存在点P,使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值   

D.存在点P,使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值

共享时间:2024-12-24 难度:4
[考点]
命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法,
[答案]
AC
[解析]
解:以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz,如图,
D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),E(2,2,0),F(0,2,0),
P(2,t,2),0<t<4,
=(2,t,2),=(0,t﹣2,2),=(0,2,0),=(2,2,0),=(2,t﹣2,2),=(0,t﹣4,2),
取平面PEB的一个法向量为=(2,0,0),
设平面PDF的法向量=(xyz),
,取x=1,得=(1,0,﹣1),
设平面PDE的法向量=(x1y1z1),
,取x1=2,得=(2,﹣2,t﹣2),
设平面PFB的法向量为=(x2y2z2),
,取x2=2,得=(2,﹣2,t﹣4),
对于A,设直线PE与平面PDF所成角为α,
则sinα=|cos<>|=
0<t<2,函数y单调递增,2<t<4时,函数y单调递减,
∴当t=2时,即PA1B1中点时,sinα取最大值,此时夹角α最大,选项A正确;
对于B,设直线PD与平面PEB所成角为β,
则sinβ=|cos<>|=
∵0<t<4时,函数y单调递减,没有最大值,选项B错误;
对于C,设平面PDE与平面PFB的夹角为θ,
则cosθ=|cos<>|=
讨论函数yt∈(0,4)上的单调性,
t﹣3=s,则(t﹣3)2s2
t2﹣6t+16=(t﹣3)2+7=s2+7,
8+(t﹣2)2=8+[(t﹣3)+1]2=9+(t﹣3)2+2(t﹣3)=9+s2+2s
8+(t﹣4)2=8+[(t﹣3)﹣1]2=9+(t﹣3)2﹣2(t﹣3)=9+s2﹣2s
则[8+(t﹣2)2]•[8+(t﹣4)2]=(9+s2+2s)(9+s2﹣2s)=(9+s22﹣4s2s4+14s2+81=(s2+7)2+32,
y,设s2+7=r,则y
t∈(0,4),s2=(t﹣3)2t∈(0,3)递减,在t∈(3,4)递增,且rs2+7∈[7,16),
yr∈[7,16)时递增,
故由复合函数单调性判断原理可知:
yt∈(0,3)递减,在t∈(3,4)递增,
则cosθ在t=3时取最小值,此时θ最大,即平面PDE与平面PFB的夹角取到最大值,选项C正确;
对于D,设平面PDF与平面PEB的夹角为φ,
则cosφ=|cos<>|=,则φ=45°为定值,选项D错误.
故选:AC

[点评]
本题考查了"命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法,",属于"综合题",熟悉题型是解题的关键。
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169690. (2024•西安八十五中•高一下期末) 在△ABC中,角ABC所对的边分别为abc,下列结论正确的是(  )

A.b2+c2a2>0,则△ABC为锐角三角形 

B.AB,则sinA>sinB   

C.b=3,A=60°,三角形面积S=3,则a 

D..若acosAbcosB,则△ABC为等腰三角形

共享时间:2024-07-08 难度:1 相似度:1.25
169541. (2024•铁一中学•高二上期末) 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1AB=2,P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,则(  )

A.存在唯一点P,使得D1PB1C   

B.当点PAC上移动时,直线D1P与直线B1D所成角不变

C.直线D1P与平面ABCD所成角的最小值为  

D..当D1P=3时,点P的轨迹为圆的一部分

共享时间:2024-02-22 难度:3 相似度:1.17
169623. (2024•西安三中•高二上期末) 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC=1,AA1=2,D是棱AA1的中点,DC1BD.则(  )

A.直线DC1BC所成角为90°

B.三棱锥DBCC1的体积为 

C.二面角A1BDC1的大小为60°

D..直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为6π

共享时间:2024-02-04 难度:4 相似度:1
169363. (2024•师大附中•高二上期末) 已知直线lxsinα+ycosα+1=0(α∈R),则下列命题正确的是(  )

A.直线l的倾斜角是π﹣α  

B.无论α取何值,直线l与圆x2+y2=1相切

C..直线l的斜率一定存在  

D..当直线l和两坐标轴都相交时,它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:0.75
171022. (2025•高新一中•高二下期中) 如图,正方形ABCD的中心为O,边长为4,将其沿对角线AC折成直二面角D′﹣ACB,设MAD′的中点,NBC的中点,则下列结论正确的有(  )

A.三棱锥D′﹣ABC的外接球表面积为32π 

B.直线MN与平面ABC所成角的正切值为 

C..点C到平面OMN的距离为

D.三角形MON沿直线MN旋转一周得到的旋转体的体积为

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:0.75
169303. (2025•铁一中学•高二上期末) 已知空间中三点A(0,1,1),B(2,2,1),C(2,1,0),则(  )

A.  

B.方向上的单位向量是   

C.是平面ABC的一个法向量  

D.上的投影向量的模为

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:0.58
169645. (2024•交大附中•高一上期末) 下列四个命题中,是真命题的是(  )

A.x∈R,且x≠0,

B.x0∈R,使得 

C.x∈R,则函数的最小值为2

D..当1<x<3时,不等式x2mx+4>0恒成立,则实数m的取值范围是m<4

共享时间:2024-02-04 难度:3 相似度:0.58
166461. (2024•铁一中学•高三上三月) 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,棱AB的中点为M,过点M作正方体的截面α,且B1D⊥α,若点N在截面α内运动(包含边界),则(  )

A.当|MN|最大时,MNBC所成的角为 

B.三棱锥A1BNC1的体积为定值

C.若|DN|=2,则点N的轨迹长度为2π

D.N∈平面A1BCD1,则BN+NC1的最小值为

共享时间:2024-01-29 难度:4 相似度:0.5
171155. (2024•西安八十五中•高二上期中) 已知正方体ABCDA1B1C1D1的边长为2,EFGH分别为CC1BCCDBB1的中点,则下列结论正确的是(  )

A.B1GEF  

B.A1H∥平面AEF  

C.B1到平面AEF的距离为2

D.二面角EAFC的大小为

共享时间:2024-11-25 难度:4 相似度:0.5
169581. (2024•高新一中•高一上期末) 下列说法正确的是(  )

A..如果α是第一象限的角,则﹣α是第四象限的角   

B.43°角与﹣317°角终边重合

C.若圆心角为的扇形的弧长为π,则该扇形面积为   

D..若α是第二象限角,则点P(sinα,cosα)在第四象限

共享时间:2024-02-29 难度:5 相似度:0.42

dygzsxyn

2024-12-24

高中数学 | 高二上 | 多选题

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2020*西工大*期末
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