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德优网2024陕西省西安市雁塔区师大附中高中数学考试月考高一下

2023-2024学年陕西师大附中高一（下）月考数学试卷（5月份）

试卷总分:120分    命题人:dygzsxyn    考试时长:120分钟

一、选择题(8小题共32分)
1. （本题4分） 在复平面内，复数z对应的点的坐标是（﹣1，），则z的共轭复数＝（　　）
A.1+i    
B.．1﹣i  
C.﹣1+i  
D.．﹣1﹣i
 
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2. （本题4分） 在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝（　　）
A.1         
B.．      
C.．     
D.．3
 
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3. （本题4分） 已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），则（　　）
A.．λ+μ＝1
B.．λ+μ＝﹣1
C.λμ＝1   
D.．λμ＝﹣1
 
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4. （本题4分） 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB﹣bcosA＝c，且C＝，则∠B＝（　　）
A.．     
B.．      
C.．
D.
 
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5. （本题4分） 在三棱锥P﹣ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝1，AC＝5，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的体积为（　　）
A.9π       
B.．18π     
C.．36π    
D.72π
 
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6. （本题4分） 已知为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（　　）
A.．，，            B.．，，
C.．，，      D.．，，
 
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7. （本题4分） 设x＞0，向量在向量上的投影向量为，则λ的最小值为（　　）
A.     
B.      
C.     
D.．
 
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8. （本题4分） 如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（　　）

A.       
B.π         
C.．    
D.4π
 
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二、多选题(4小题共16分)
9. （本题4分） 已知z1，z2互为共轭复数，则（　　）
A.                      
B.．|z1|＝|z2|  
C.．z1+z2∈R                    
D.．z1z2∈R
 
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10. （本题4分） 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为CC1，C1D的中点，则（　　）

A.直线MN与A1C所成角的余弦值为

B.．平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为

C.在BC1上存在点Q，使得B1Q⊥BD1

D.在B1D上存在点P，使得PA∥平面BMN

 
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11. （本题4分） 下列说法中正确的是（　　）

A.在△ABC中，若•＜0，则△ABC为钝角三角形

B.．已知非零向量，，若||＝||﹣||，则与反向共线且||≥||  

C.若∥，则存在唯一实数λ使得＝

D.若+3+4＝，S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，则S△AOC：S△ABC＝3：8

 
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12. （本题4分） 如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，Q为线段B1D1上一动点（包括端点），则以下结论正确的是（　　）

A.．三棱锥Q﹣C1BD的体积为定值 

B.当点Q为B1D1中点时，直线QA1与平面A1BD所成角的正弦值为   

C.．当点Q与D1重合时，三棱锥Q﹣A1BD的外接球的体积为4

D.．过点Q平行于平面C1BD的平面被正方体ABCD﹣A1B1C1D1截得的多边形的面积为2

 
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三、填空题(4小题共16分)
13. （本题4分） 已知，是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则k＝　   　 ．
 
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14. （本题4分） 关于直线m,n与平面α，β，有以下四个命题：
①若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是       ．
 
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15. （本题4分） 已知a、b、c分别是△ABC内角A、B、C的对边，满足cosAsinBsinC+cosBsinAsinC=2cosCsinAsinB，则C的最大值为       ．
 
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16. （本题4分） 德优题库如图，三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是边长为2的等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°．若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为        ．
 
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四、解答题(5小题共56分)
17. （本题10分） 已知空间三点A（﹣2，0，2）、B（﹣1，1，2）、C（﹣3，0，4），设，．
（1）若向量与互相垂直，求实数k的值；
（2）若向量与共线，求实数λ的值．
 
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18. （本题10分） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求△ABC的面积．
 
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19. （本题12分） 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，4PA＝4AB＝3AD＝12，，且M，N分别为PD，AC的中点．
（1）求证：MN∥平面PBC；
（2）求三棱锥M﹣ACD的体积．

 
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20. （本题12分） 已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且csinA+acosC＝b+c．
（1）求A；
（2）若BC＝2，将射线BA和CA分别绕点B，C顺时针旋转15°，30°，旋转后相交于点D（如图所示），且∠DBC＝30°，求AD．

 
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21. （本题12分） 如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N分别是CC1，BC的中点，点P在直线A1B1上，且；
（1）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（3）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

 
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dygzsxyn

2024-06-19

高中数学 | 考试 | 难度:1.81

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  • 题号
  • 考点
  • 操作
  • 1
  • 由复平面中的点确定复数，共轭复数，
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  • 2
  • 余弦定理，
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  • 3
  • 数量积判断两个平面向量的垂直关系，
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  • 4
  • 利用正弦定理解三角形，
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  • 5
  • 球的体积和表面积，
  • 查看
  • 6
  • 空间向量基本定理及空间向量的基底，
  • 查看
  • 7
  • 空间向量的投影向量与投影，
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  • 8
  • 球的体积和表面积，
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  • 9
  • 共轭复数，复数的模，复数的运算，
  • 查看
  • 10
  • 异面直线及其所成的角，直线与平面平行，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，
  • 查看
  • 11
  • 平面向量数量积的性质及其运算，
  • 查看
  • 12
  • 命题的真假判断与应用，棱柱的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，
  • 查看
  • 13
  • 平面向量的相等与共线，平面向量共线（平行）的坐标表示，
  • 查看
  • 14
  • 空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，
  • 查看
  • 15
  • 正弦定理，余弦定理，
  • 查看
  • 16
  • 球的体积和表面积，
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  • 17
  • 空间向量的共线与共面，空间向量的数量积判断向量的共线与垂直，
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  • 18
  • 正弦定理，余弦定理，三角形中的几何计算，
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  • 19
  • 棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行，
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  • 20
  • 正弦定理，解三角形，
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  • 21
  • 直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法，
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