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232192. (2024•铁一中学•高一下一月) 正月十五元宵节,中国民间有观赏花灯的习俗.在2024年元宵节,小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体,体现了数学的对称美.图2是一个棱数为24的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为2,关于该半正多面体的四个结论中正确结论的是(  )

A.棱长为

B.两条棱所在直线异面时,这两条异面直线所成角的大小是60°  

C.表面积为  

D.外接球的体积为

共享时间:2024-04-20 难度:2
[考点]
球的体积和表面积,异面直线及其所成的角,
[答案]
AC
[解析]
解:如图所示:

该几何体的每条棱都是的一个等腰直角三角形的斜边,
且该等腰直角三角形的直角边长度为正方体棱长的一半,
故该等腰直角三角形的直角边长度为1,从而该几何体的每条棱的长度都是,所以A选项正确;
A1B1A2B2为该几何体位于正方体的一组相对的面上的两个平行的棱,
A2B2A2D2为该几何体位于正方体的同一个面的两条棱,
A2B2A2D2A1B1平行于A2B2A1B1A2D2异面且A1B1A2D2
这意味着存在一对异面的棱所成角是直角,所以B选项错误;
该几何体一共有14个面,其中6个是正方形,8个是正三角形,边长均为
所以每个正方形的面积都是2,每个正三角形的面积都是
所以其表面积为,所以C选项正确;
设正方体的中心为O,由于对该几何体的任意一个顶点都是正方体的某条边的中点,
所以O到该几何体的任意一个顶点的距离都是正方体棱长的倍,即为
所以该几何体的外接球是以O为球心,半径为的球,
所以外接球的体积为,所以D选项错误.
故选:AC
[点评]
本题考查了"球的体积和表面积,异面直线及其所成的角,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
转载声明:
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232885. (2024•交大附中•高一下二月) 如图,棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,点EFG分别是棱ADDD1CD的中点,则(  )

A.直线A1GC1E为异面直线  

B.直线A1G与平面DD1C1C所成角的正切值为

C..过点C1EF的平面截正方体的截面面积为  

D.三棱锥BAEF外接球的表面积为14π

共享时间:2024-06-19 难度:3 相似度:1.67
169623. (2024•西安三中•高二上期末) 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ACBC=1,AA1=2,D是棱AA1的中点,DC1BD.则(  )

A.直线DC1BC所成角为90°

B.三棱锥DBCC1的体积为 

C.二面角A1BDC1的大小为60°

D..直三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为6π

共享时间:2024-02-04 难度:4 相似度:1.5
169344. (2024•师大附中•高一下期末) 半正多面体亦称“阿基米德多面体”,是由边数不全相同的正多边形围成,体现了数学的对称美.如图,二十四等边体就是一种半正多面体,是由正方体截去八个一样的四面体得到的,若它的所有棱长都为,则(  )

A.被截正方体的棱长为2 

B..被截去的一个四面体的体积为  

C..该二十四等边体的体积为 

D.该二十四等边体外接球的表面积为8π

共享时间:2024-07-09 难度:2 相似度:1
232347. (2023•铁一中学•高二上一月) 已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1MB1C1中点,点P在正方体的表面上运动,且总满足MP垂直于MC,则下列结论正确的是(  )

A.P的轨迹中包含AA1的中点   

B.P在侧面AA1D1D内的轨迹的长为 

C.MP长度的最大值为  

D.直线CC1与直线MP所成角的余弦值的最大值为

共享时间:2023-10-22 难度:2 相似度:1
169541. (2024•铁一中学•高二上期末) 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1AB=2,P是正方形ABCD内部(含边界)的一个动点,则(  )

A.存在唯一点P,使得D1PB1C   

B.当点PAC上移动时,直线D1P与直线B1D所成角不变

C.直线D1P与平面ABCD所成角的最小值为  

D..当D1P=3时,点P的轨迹为圆的一部分

共享时间:2024-02-22 难度:3 相似度:0.83
231974. (2024•师大附中•高一下二月) 已知正方体ABCDA1B1C1D1中,MN分别为CC1C1D的中点,则(  )

A.直线MNA1C所成角的余弦值为

B..平面BMN与平面BC1D1夹角的余弦值为

C.BC1上存在点Q,使得B1QBD1

D.B1D上存在点P,使得PA∥平面BMN

共享时间:2024-06-19 难度:3 相似度:0.83
232649. (2023•鄠邑二中•高二上一月) 如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,正方形ABCD的中心为O,棱CC1B1C1的中点分别为EF,则(  )

A.  

B.   

C..异面直线OD1EF所成角的余弦值为 

D..点F到直线OD1的距度为

共享时间:2023-10-11 难度:3 相似度:0.83
233113. (2023•西安八十五中•高二上一月) 如图,四棱锥中,底面ABCD是正方形,SA⊥平面ABCDSAABOP分别是ACSC的中点,M是棱SD上的动点,则(  )

A.OMAP

B.存在点M,使OM∥平面SBC 

C..存在点M,使直线OMAB所成的角为30°

D..点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值

共享时间:2023-10-28 难度:3 相似度:0.83
166461. (2024•铁一中学•高三上三月) 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,棱AB的中点为M,过点M作正方体的截面α,且B1D⊥α,若点N在截面α内运动(包含边界),则(  )

A.当|MN|最大时,MNBC所成的角为 

B.三棱锥A1BNC1的体积为定值

C.若|DN|=2,则点N的轨迹长度为2π

D.N∈平面A1BCD1,则BN+NC1的最小值为

共享时间:2024-01-29 难度:4 相似度:0.75
166517. (2024•城关中学•高二上二月) 在长方体ABCDA1B1C1D1中,|AB|=4cm,|BC|=|CC1|=2cmEF分别为ABCD的中点,P是线段A1B1(不含端点)上的任意一点,下述说法正确的是(  )

A.存在点P,使直线PE与平面PDF所成角取得最大值

B.存在点P,使直线PD与平面PEB所成角取得最大值

C.存在点P,使平面PDE与平面PFB的夹角取得最大值   

D.存在点P,使平面PDF与平面PEB的夹角取得最大值

共享时间:2024-12-24 难度:4 相似度:0.75
232455. (2023•南开中学•高二上二月) 在正方体ABCDA1B1C1D1中,则(  )

A.直线A1C1与直线BD所成角为90°   

B..直线A1C1与平面A1BD所成角的正弦值为

C.二面角C1A1BD的余弦值为

D..如果AB=1,那么点C1到平面A1BD的距离为

共享时间:2023-12-28 难度:4 相似度:0.75
233433. (2023•铁一中学•高一下二月) 在正三棱锥PABC中,DE分别是棱ACPB的中点,M是棱PC上的任意一点,则下列结论正确的是(  )

A.PBAC

B..异面直线DEAB所成角的余弦值是   

C.AM+MB的最小值是4  

D..三棱锥PABC内切球的半径是

共享时间:2023-06-22 难度:4 相似度:0.75

dygzsxyn

2024-04-20

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2020*西工大*期末
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