如图在正方形中以的中点为圆心为半径作半圆交边于动点在半圆上若且则当最小时的面积为

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196646. （2024•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，在正方形ABCD中，AB=4，以AD的中点O为圆心，1为半径作半圆交边AD于E、F，动点P在半圆上，若∠BPQ=90°且BP=2PQ，则当CQ最小时，△BCQ的面积为．

共享时间:2024-02-18 难度:5

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[考点]

三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，

[答案]

6﹣

．

[解析]

解：连接OB，过点O作OO'⊥OB交CD于点O'，则∠BOO'＝90°，

∵正方形ABCD，O是AD中点，
∴AO＝OD＝

AD＝

AB，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AOB＝∠OO'D＝90°﹣∠DOO'，
∴△AOB∽△DO'O，
∴

，
∴O'D＝

＝1，
∵∠BPQ＝90°，BP＝2PQ，
∴∠BPQ＝∠BOO'，

，
∴△BPQ∽△BOO'
∴∠PBQ＝∠OBO'，

，
∴∠OBP＝∠O'BQ，
∴△OBP∽△O'BQ，
∴

＝

，
∵OP＝1，
∴O'Q＝

，
∴点Q在以O'为圆心，

为半径的圆上半圆上运动，

当O'、Q、C三点共线时，CQ最小，
此时CQ＝CD﹣O'D﹣OO'＝4﹣1﹣

＝3﹣

，且△BCQ直角三角形，
∴S_△BCQ＝

＝6﹣

，
故答案为：6﹣

．

[点评]

本题考查了"三角形三边关系，直角三角形斜边上的中线，正方形的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，"，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键。

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225. （2020•石狮市石光中学•模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上一个动点，点F是CD边上一个动点，且AE＝CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是　　．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.71

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172955. （2024•高新一中•九上二月）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，

，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F连接EF，线段EF长度的最小值是　　．

共享时间:2024-12-21 难度:4 相似度:1.35

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19050. （2016•交大附中•模拟）如图，正方形ABCD的边AD、CD上两个动点E，F，且满足AF＝BE，BE交AF于点H．若正方形的边长为4，线段DH最大值为x，最小值为y，则

﹣y的值是　　．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:1.24

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23909. （2022•高新一中•二模）如图，△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=75°，AB=4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.2

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24212. （2021•交大附中•七下期中）已知三角形的两边长分别为2和7，第三边为奇数，则它第三边的长是．

共享时间:2021-05-06 难度:2 相似度:1.2

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173201. （2024•西光中学•九上二月）如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是边AB、BC上的点，CE、DF交于点P，当CE＝DF时，BP的最小值为　．

共享时间:2024-12-10 难度:5 相似度:1.2

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25716. （2023•高新一中•八模）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=3．点D为平面上一个动点，∠ADB=45°，则线段CD长度的最小值为．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.07

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25714. （2023•曲江一中•四模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=5，点E在BC上，且CE=4BE，点M为矩形内一动点，使得∠CME=45°，连接AM，则线段AM的最小值为．
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共享时间:2024-03-13 难度:4 相似度:1.07

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3109. （2019•滨河中学•模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是　　cm．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.8

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2886. （2019•陕西省•模拟）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，点D到点O的最大距离为　　．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:0.8

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6209. （2017•西工大附中•一模）如图，在正方形ABCD中，CD＝2

，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，则点A到BP的距离为　　．

共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:0.73

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20469. （2020•铁一中学•八模）如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边CD、DA上的动点，点G在对角线AC上，且CG=3AG，则四边形BEFG的周长的最小值为_________.
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共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:0.7

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172503. （2024•师大附中•九上二月）如图，点A，B，C，D在⊙O上，若AC⊥BC，AC＝4，tan∠ADC＝

，则BC的长为　．

共享时间:2024-12-22 难度:2 相似度:0.7

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172504. （2024•师大附中•九上二月）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．若OB＝3，

，则菱形ABCD的面积为　．

共享时间:2024-12-22 难度:2 相似度:0.7

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25614. （2023•爱知中学•二模）如图，在四边形ABCD中，DA⊥AB，BC⊥AB，AD=2，AB＝2

，BC=4，点E是四边形ABCD内一点，连接AE、BE、DE、CE，则（AE+BE+CE+DE）的最小值为．

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共享时间:2023-04-28 难度:3 相似度:0.7

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2024-02-18

初中数学 | 九年级上 | 填空题

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