如图是的外接圆是的直径过作于点延长至点连接且是的切线求证若求的长

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195799. （2025•阎良区•九上期末） $德优题库$ 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过O作OE⊥AC于点E，延长OE至点D，连接CD，且CD是⊙O的切线．
（1）求证：∠D=∠A；
（2）若AB=CD=2，求AC的长．

共享时间:2025-02-24 难度:3

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相似

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[考点]

三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，

[答案]

（1）证明见解析过程；

（2）

．

[解析]

（1）证明：⊙O是△ABC的外接圆，CD是⊙O的切线，如图，连接OC，

∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝∠ACO+∠DCE＝90°，
∵OE⊥AC于点E，延长OE至点D，
∴∠DEC＝90°，
∴∠D+∠DCE＝90°，
∴∠D＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠D＝∠A；
（2）解：∵AB＝CD＝2，
在直角三角形OCD中，OC＝1，
由勾股定理得：OD＝

＝

，
∵S_△COD＝

OC•CD＝

OD•CE，
∴CE＝

＝

，
∵OD⊥AC，
∴AC＝2CE＝

．

[点评]

本题考查了"三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.17

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4762. （2017•高新一中•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
$德优题库$

共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:1.07

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6245. （2017•铁一中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:5 相似度:1.07

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19061. （2016•交大附中•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:0.96

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1094. （2020•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，∠ACB的平分线交AB于点D．过点D分别作DE⊥AC，DF⊥BC．垂足分别为E，F，则图1中与线段CE相等的线段是　　．
问题探究
（2）如图2，AB是半圆O的直径，AB＝8．P是

上一点，且

＝2

，连接AP，BP．∠APB的平分线交AB于点C，过点C分别作CE⊥AP，CF⊥BP，垂足分别为E，F，求线段CF的长．
问题解决
（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知⊙O的直径AB＝70m，点C在⊙O上，且CA＝CB．P为AB上一点，连接CP并延长，交⊙O于点D．连接AD，BD．过点P分别作PE⊥AD，PF⊥BD，垂足分别为E，F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设AP的长为x（m），阴影部分的面积为y（m²）．
①求y与x之间的函数关系式；
②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理．试求当AP＝30m时．室内活动区（四边形PEDF）的面积．

共享时间:2020-07-30 难度:5 相似度:0.96

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19063. （2016•交大附中•模拟）小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．
探索理解：
（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；

尝试体验：
（2）如图2，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
（3）如图3，邻等四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝75°，∠ADC＝60°，BD＝4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．

共享时间:2016-06-21 难度:5 相似度:0.92

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