如图是的一条弦是的中点过点作于点过点作的切线交的延长线于点求证若求的半径

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4762. （2017•高新一中•真题）如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半径．
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共享时间:2018-06-27 难度:4

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[考点]

等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，垂径定理，切线定理，

[答案]

答案详见解析

[解析]

（1）证明：∵AO＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵BD是切线，
∴OB⊥BD，
∴∠OBD＝90°，
∴∠OBE+∠EBD＝90°，
∵EC⊥OA，
∴∠CAE+∠CEA＝90°，
∵∠CEA＝∠DEB，
∴∠EBD＝∠BED，
∴DB＝DE．

（2）作DF⊥AB于F，连接OE．
∵DB＝DE，AE＝EB＝6，
∴EF＝

BE＝3，OE⊥AB，
在Rt△EDF中，DE＝BD＝5，EF＝3，
∴DF＝

＝4，
∵∠AOE+∠A＝90°，∠DEF+∠A＝90°，
∴∠AOE＝∠DEF，
∴sin∠DEF＝sin∠AOE＝

＝

，
∵AE＝6，
∴AO＝

．
∴⊙O的半径为

．

[点评]

本题考查了"等腰三角形的性质勾股定理垂径定理切线定理锐角三角函数 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

437. （2016•陕西省•副题）如图，已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝8，．过点B作⊙O的切线BD，过点A作AD⊥BD，垂足为D．
（1）求证：∠BAD+∠C＝90°
（2）求线段AD的长．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:1.4

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6218. （2016•西工大附中•真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EB＝

，且sin∠CFD＝

，求⊙O的半径与线段AE的长．

共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:1.2

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961. （2016•陕西省•真题）如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G．
求证：（1）FC=FG；（2）AB²=BC•BG．

共享时间:2016-07-11 难度:4 相似度:1.07

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.07

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6067. （2017•铁一中学•模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，CG∥AB交直线AF于点G
（1）若AC＝BC，求证：CG是⊙O的切线；
（2）如果DE＝

CE，AC＝8

且D为EF的中点，求直径AB的长．

共享时间:2017-05-28 难度:3 相似度:0.9

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.9

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3118. （2019•滨河中学•模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）如果sinC＝

，AE的长为2．求⊙O的半径．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.9

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1143. （2020•陕西省•副题）如图，直线AM与⊙O相切于点A，弦BC∥AM，连接BO并延长，交⊙O于点E，交AM于点F，连接CE并延长，交AM于点D．
（1）求证：CE∥OA；
（2）若⊙O的半径R=13，BC=24，求AF的长．
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共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:0.9

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6318. （2017•西工大附中•真题）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．

共享时间:2017-06-26 难度:4 相似度:0.9

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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共享时间:2017-05-30 难度:4 相似度:0.8

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1001. （2018•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、

是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，

所对的圆心角为60°，新区管委会想在

路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在

、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）