如图在中将绕点顺时针旋转得连接直线交于点当时在旋转的过程中四边形的面积是否存在最大值若存在求出四边形面积的最大值若不存在请说明理由如图若中其余条件不变四边形的面积是否存在最大值若存在求出四边形面积的最大值若不存在请说明理由

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6245. （2017•铁一中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

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[考点]

三角形的面积，三角形综合题，三角形的面积最值问题，勾股定理，四边形与面积问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵BA＝BD，∠ABD＝30°，
∴∠BAD＝∠BDA＝

（180°﹣30°）＝75°．
故答案为75°．

（2）存在．理由如下，
如图①中，

∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵BA＝BD，BC＝BE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BCE＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM＝180°，
∴∠BCM+∠BAM＝180°，
∴∠ABC+∠AMC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AMC＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，BC＝3，
∴AC＝

＝5，
∵S_△ABC＝

×3×4＝6，
∴当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，
∵△ACM是直角三角形，AC＝5，
∴当AM＝CM＝

时，△ACM的面积最大，最大值为＝

，
∴四边形ABCM的面积的最大值为

．

（3）存在．理由如下，
如图②中，作AN⊥BC于N．

∵∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∵BA＝BD，BC＝BE，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BCE＝∠BEC，
∴∠BCE＝∠BAD，
∵∠BCE+∠BCM＝180°，
∴∠BCM+∠BAM＝180°，
∴∠ABC+∠AMC＝180°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠AMC＝60°，
在Rt△ABN中，∵AB＝4，∠ABN＝60°，
∴BN＝

AB＝2，AN＝2

，
在Rt△ACN中，AC＝

＝

∴S_△ABC＝

×3×2

＝3

，
∴当△ACM的面积最大时，四边形ABCM的面积最大，
∵∠AMC＝60°
∴当△ACM是等边三角形时，△ACM的面积最大，最大值为＝

•AC²＝

，
∴四边形ABCM的面积的最大值为

．

[点评]

本题考查了"三角形的面积勾股定理四边形与面积问题三角形综合题三角形的面积最值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

61367. （2023•爱知中学•八上期末）（1）如图1所示，已知线段OA=4，AB=5，则线段OB长度的最小值为．
（2）如图2所示，△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，AB=AC，AD=AE，点C在线段DE上，若DC=4，CE=2，求BC长．
（3）如图3所示，△OAB为等腰三角形，OA=OB=4，以AB为边在其上方作等腰直角△ABC，∠ABC=90°，连接OC，求线段OC的最小值．
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共享时间:2023-02-23 难度:1 相似度:1.2

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27855. （2023•爱知中学•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图法在AC边上作一点P，使得S_△ABC=4S_△ADP．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-01-30 难度:2 相似度:1.2

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27732. （2023•爱知中学•八上一月）在本学期的数学学习中，老师提出了这样一个问题：
如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【阅读理解】小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
（1）如图1，延长AD到M，使DM=AD，连接BM．根据可以判定△ADC≌△MDB，得出AC=BM．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABM中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围．
【方法感悟】我们发现，几何图形中出现能表示相等数量关系的条件时，如：“中点”、“角平分线”等，往往可以考虑作“辅助线”，构造全等三角形，从而达到解决问题的目的．
【问题解决】
（2）如图2，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．若AB=3，BD=2，求AC的长．
【应用提升】
（3）已知：如图3，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=2．D、E是三角形边AB、AC上两个动点，且AD=CE，连接BE，CD．求（BE+CD）²的最小值．
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共享时间:2023-10-18 难度:1 相似度:1.2

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23418. （2020•西工大附中•八上二月）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，-1），B（1，-2），C（3，-3）．
（1）△ABC的面积是．
（2）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A₁B₁C₁，请画出△A₁B₁C₁；
（3）请画出与△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂．
$德优题库$

共享时间:2021-01-09 难度:4 相似度:1.2

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4758. （2018•高新一中•模拟）如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．
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共享时间:2018-06-27 难度:4 相似度:0.9

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25106. （2022•铁一中学•八下期中）问题提出：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大为；
问题探究：
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，若CD+BC=10，求四边形ABCD的面积；
问题解决：
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，AC=8，求四边形ABCD面积的最大值．
$德优题库$

共享时间:2022-05-18 难度:4 相似度:0.9

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23065. （2021•铁一中学•八上期中）如图，已知△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角△PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：
（1）如图1，若点P在线段AB上时，猜想PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的PA²，PB²，PQ²三者之间的数量关系仍然成立，请利用图2进行证明；
（3）若动点P满足

＝

，求

的值（请利用图3进行探求）．

共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:0.9

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23062. （2021•铁一中学•八上期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=5，DA=5

．
（1）求△BCD的面积；
（2）求BD的长．
$德优题库$

共享时间:2021-11-19 难度:4 相似度:0.9

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23184. （2021•西工大附中•八上期中）【问题发现】
（1）如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，则点C的坐标为．
【问题探究】
（2）如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
（3）如图③，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（8，6），D在对角线AC上，且CD=OC，P是OD的中点，Q是OC上一点，将△OPQ沿PQ折叠，使点O落在AC边上的点E处，求点D的坐标及四边形OPEQ的面积．
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共享时间:2021-11-19 难度:5 相似度:0.73

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23400. （2020•铁一中学•八上二月）如图1，已知函数y＝

x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．
（1）求直线BC的函数解析式；
（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
①若△PQB的面积为

，求点M的坐标；
②连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．

共享时间:2021-12-15 难度:5 相似度:0.73

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23012. （2021•高新一中•八上期中）将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），点O（0，0）．
$德优题库$
（1）当P是边AB上的一点（点P不与点A，B重合），沿着OP折叠该纸片，得点A的对应点A'．
①如图①，当点A'在第一象限，且满足A'B⊥OB时，则点A'的坐标为；
②如图②，当A'在y轴上时，求P点坐标；
（2）如图③，当P是边OB上的一点（点P不与点O，B重合），沿着PA折叠该纸片，当B落在x轴的对应点为B'，求AP解析式．

共享时间:2021-11-18 难度:4 相似度:0.73

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
$德优题库$
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5 相似度:0.73

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3120. （2019•陕西省•模拟）问题探究：
（1）如图1所示，已知直线m∥n，A、B为直线n上两定点，C、D为直线m上两动点，AD与BC交于点O，请你写出图中任意一对面积相等的三角形：　　．
（2）如图2所示，菱形ABCD的对角线AC、BD长分别为8和5，G是BC边上一点，以BG作菱形BEFG，求△ACF的面积．
问题解决：
（3）王大爷家有一块∠A＝60°的菱形菜地ABCD，如图3所示，由于修建道路该菜地右下角一块将被占用，现决定在AB下方补给一块土地，补偿后菜地将调整为四边形AMCD，要求补偿后的四边形AMCD的面积与原来菱形ABCD的面积相等且∠AMC＝60°请你在图3中通过画图来确定M点的位置，若AB＝4，求出CM的长．

共享时间:2019-06-03 难度:5 相似度:0.73

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24639. （2022•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，AD是等边△ABC的中线，点P在AD的延长线上，且AP＝AC，则∠APC的度数为　　．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，CA＝CB＝6，∠C＝120°．过点A作AP∥BC，且AP＝BC，过点P作直线l⊥BC，分别交AB、BC于点O、E，求四边形OECA的面积．
问题解决
（3）如图3，现有一块△ABC型板材，∠ACB为钝角，∠BAC＝45°．工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件，并要求∠BAP＝15°，AP＝AC．工人师傅在这块板材上的作法如下：
①以点C为圆心，以CA长为半径画弧，交AB于点D，连接CD；
②作CD的垂直平分线l，与CD交于点E；
③以点A为圆心，以AC长为半径画弧，交直线l于点P，连接AP、BP，得△ABP．
请问，若按上述作法，裁得的△ABP型部件是否符合要求？请证明你的结论．