如图四边形内接于且过点作的切线与的延长线交于点与交于点求证四边形是平行四边形若求半径的长

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19061. （2016•交大附中•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4

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[考点]

平行线的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线定理逆定理，

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[答案]

答案详见解答

[解析]

（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A，
∴∠EAC＝∠ABC，
∵AB＝AC
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCE是平行四边形；

（2）解：如图，连接AO，交BC于点G，连接OC，

∵AE是⊙O的切线，
由切割线定理得，AE²＝EC•DE，
∵AE＝12，CD＝10，
∴12²＝CE（CE+10），解得：CE＝8，（已舍去负数），
由（1）知，四边形ABCE是平行四边形，
∴AC＝AB＝CE＝8，BC＝AE＝12，
又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，
∴CG＝

BC＝6，
在Rt△ACG中，AC＝8，CG＝6，
∴AG＝

＝2

，
在Rt△OCG中，OC²﹣（OC﹣AG）²＝CG²，
∴OC²﹣（OC﹣2

）²＝36，
∴OC＝

．
∴⊙O半径的长为

．

[点评]

本题考查了"平行线的判定等腰三角形的性质勾股定理平行四边形的判定与性垂径定理圆周角定理切线定理逆定理 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

285893. （2022•交大附中•一模）如图，已知AB为⊙O的直径，AC、CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，连接BC．
（1）求证：OF∥BC；
（2）若EB＝4cm，CD＝8

cm，求AC的长．

共享时间:2022-03-13 难度:3 相似度:1.43

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26015. （2024•滨河中学•七模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．
（1）求证：ED=EG；
（2）若AB＝4

，OG=2，求⊙O的半径．
$德优题库$

共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:1.43

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284660. （2023•交大附中•二模） $德优题库$ 如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
（1）求证：∠B=∠E；
（2）若⊙O的半径为4，OE=6，求AD的长．

共享时间:2023-03-16 难度:3 相似度:1.43

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288079. （2018•爱知中学•二模） $德优题库$ 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，过点D作DE⊥AD交AC的延长线于点E．
（1）求证：DC=DE；
（2）若BD=1，DE=3，求⊙O的半径．

共享时间:2018-03-21 难度:2 相似度:1.29

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278559. （2025•铁一中学•九模）为增强学生的劳动意识，养成良好的劳动习惯和品质，某校组织学生到劳动基地参加“耕读累德”实践活动，计划组织学生种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植4亩甲作物和1亩乙作物需要26名学生．问：种植1亩甲作物和1亩乙作物一共需要多少名学生．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.29

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278568. （2025•铁一中学•九模） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AB=AC．以AB为直径的圆O分别交AC，BC于点D，E．过点B作圆O的切线交OE的延长线于点F．
（1）求证：OE∥AC；
（2）如果AB=10，AD=6，求EF的长．

共享时间:2025-06-20 难度:2 相似度:1.29

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212162. （2025•滨河中学•五模） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E．
（1）求证：BE=DE；
（2）连接OE，若⊙O的半径为5，AD=6，求OE的长．

共享时间:2025-05-14 难度:2 相似度:1.29

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285818. （2022•滨河中学•七模） $德优题库$ 如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O的切线交CE的延长线于点D．
（1）求证：DB=DE；
（2）若AB=12，BD=5，求AC长．

共享时间:2022-06-04 难度:2 相似度:1.29

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210732. （2025•雁塔区•三模） $德优题库$ 如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点C，∠BAC的平分线交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC=6，DE=4，求⊙O的半径．

共享时间:2025-04-05 难度:4 相似度:1.18

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20184. （2021•西工大附中•五模）如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，∠ABC的平分线BM
交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）若BC＝8，AC＝12时，求BM的长．