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德优网2021陕西省西安市未央区西安中学高中数学考试期末高二上

2020-2021学年陕西省西安中学高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）抛物线y＝

x²的焦点坐标是（　　）

A.（1，0）

B.（﹣1，0）

C.（0，1）

D.（0，﹣1）

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2. （本题5分）设直线l₁、l₂的方向向量分别为

，

，若l₁⊥l₂，则m等于（　　）

A.1

B.．2

D.．3

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3. （本题5分） “若x＝0或x＝1，则x²﹣x＝0”的否命题为（　　）

A.若x＝0或x＝1，则x²﹣x≠0	B.．若x²﹣x＝0，则x＝0或x＝1
C.若x≠0或x≠1，则x²﹣x≠0	D.若x≠0且x≠1，则x²﹣x≠0

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4. （本题5分）下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（　　）
①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
②平行且模相等的两个向量是相等向量；
③若

，则

；
④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．

A.．0

B.．1

C.．2

D.．3

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5. （本题5分）过抛物线E：y²＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（　　）

A.2

B.．

C.3

D.．4

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6. （本题5分）函数f（x）＝

x²﹣lnx的单调递减区间为（　　）

A.（﹣1，1）

B.（﹣∞，1）

C.．（1，+∞）

D.（0，1）

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7. （本题5分）已知双曲线C的一条渐近线的方程是：y＝2x，且该双曲线C经过点

，则双曲线C的方程是（　　）

A.	B.
C.	D.

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8. （本题5分）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有

＝x

（x，y，z∈R），则x＝2，y＝﹣3，z＝2是P，A，B，C四点共面的（　　）

A.充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.充要条件	D.既不充分又不必要条件

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9. （本题5分）椭圆

右焦点为F，存在直线y＝t与椭圆C交于A，B两点，使得△ABF为等腰直角三角形，则椭圆C的离心率e＝（　　）

A.．

C.．

D.．

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10. （本题5分）已知函数f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），当k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x）在（0，2π）内的极值点的个数为（　　）

A.．0

B.1

C.2

D.3

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11. （本题5分）已知正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，Q是平面ABCD内一动点，若D₁Q与D₁C所成角为

，则动点Q的轨迹是（　　）

A.椭圆

B.双曲线

C.．抛物线

D.．圆

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12. （本题5分）已知双曲线

的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线MN与C的左支交于M，N两点，若

，

，则C的渐近线方程为（　　）

B.．

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）若命题“∃x₀∈R，

”为假命题，则实数m的取值范围是　．

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14. （本题5分）在空间直角坐标系中，A（1，1，1），B（2，3，4），平面BCD的一个法向量是（﹣1，2，1），则点A到平面BCD的距离为　．

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15. （本题5分）过椭圆

＝1内一点M（2，1）引一条弦，使得弦被M点平分，则此弦所在的直线方程为　　．

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16. （本题5分）设

，则F（a，b）的最小值为　．

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三、解答题(6小题共70分)

17. （本题10分）（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为

的双曲线的标准方程；
（2）求经过点P（﹣2，﹣4）的抛物线的标准方程．

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18. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且△PAD为等边三角形．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角D﹣PA﹣C的正弦值．

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19. （本题12分）已知函数f（x）＝

﹣ax+b，在点M（1，f（1））处的切线方程为9x+3y﹣10＝0，求
（1）实数a，b的值；
（2）函数f（x）的单调区间以及在区间[0，3]上的最值．

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20. （本题12分）如图1，在△MBC中，BM＝2BC＝4，BM⊥BC，A，D别为棱BM，MC的中点，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB＝90°，如图2，连结PB，PC．

（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）线段PC上是否存在一点E，使二面角E﹣AD﹣P的余弦值为

？若存在，求出

的值；若不存在，请说明理由．

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21. （本题12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为﹣

，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若过点（﹣

，0）的直线l与曲线C交于M，N两点，曲线C上是否存在点E使得四边形OMEN为平行四边形？若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由．

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22. （本题12分）已知函数f（x）＝ax﹣e^x（a∈R），

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）∃x₀∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣e^x成立，求a的取值范围．

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2021-02-14

高中数学 | 考试 | 难度:1.68

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