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2023-2024学年陕西省西安市长安一中高三（上）第五次质检数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知集合A＝{y|y＝2^x，x≥0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（　　）

A.[1，2]

B.（1，2）

C.[1，2）

D.（﹣∞，+∞）

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2. （本题5分）已知

，其中

为z的共轭复数，则复数z在复平面上对应的点位于（　　）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

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3. （本题5分）已知a，b＞1且a≠b，下列各式中最大的是（　　）

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4. （本题5分）已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＝（　　）

A.﹣1

B.．

D.1

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5. （本题5分）若

，则tan（π﹣α）等于（　　）

A.﹣3

B.3

D.．

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6. （本题5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称y＝[x]为高斯函数．例如，[﹣2.6]＝﹣3，[1.2]＝1，已知函数

，则函数y＝[f（x）]的值域为（　　）

A.{y|0≤y≤3}

C.{1，2，3}

D.．{0，1，2，3}

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7. （本题5分）如图所示的三棱锥S﹣ABC中，SC⊥BC，SC⊥AC，BC⊥AB，AB⊥SB，且

，则其外接球体积的最小值为（　　）

B.．20π

C.25π

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8. （本题5分）若

，b＝﹣ln9，c＝ln（﹣ln0.9），则（　　）

A.c＜a＜b

B.．c＜b＜a

C.a＜b＜c

D.a＜c＜b

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9. （本题5分）围绕民宿目的地进行吃住娱乐闭环消费已经成为疫情之后人们出游的新潮流．在用户出行旅游决策中，某机构调查了某地区1000户偏爱酒店的用户与1000户偏爱民宿的用户住宿决策依赖的出行旅游决策平台，得到统计图，则下列说法中不正确的是（　　）

A.偏爱民宿用户对小红书平台依赖度最高

B.在被调查的两种用户住宿决策中，小红书与携程旅行的占比总和相等

C.．小红书在所有被调查用户住宿决策中的占比与携程旅行在所有被调查用户住宿决策中的占比不相等

D.在被调查的两种用户住宿决策中，同程旅行占比都比抖音的占比高

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10. （本题5分）已知命题p：∀x≤4，log₂x≤2；命题q：在△ABC中，若

，则

．则下列命题为真命题的是（　　）

A.．p∧q

B.．p∧（¬q）

C.．（¬p）∧（¬q）

D.（¬p）∧q

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11. （本题5分）已知抛物线y²＝2px（p＞0）与双曲线

﹣

＝1（a＞0，b＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线在第一象限的一个交点，若直线AF的斜率为

，则双曲线的离心率为（　　）

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12. （本题5分）已知函数f（x）＝﹣x³+1+a（

≤x≤e，e是自然对数的底）与g（x）＝3lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（　　）

A.[0，e³﹣4]

B.[0，

+2]

C.[

+2，e³﹣4]

D.[e³﹣4，+∞）

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）在锐角△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，记

，

，若

，则

＝　　．

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14. （本题5分）在正四棱柱（底面为正方形且侧棱垂直于底面）ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，BC＝2AA₁，M是BC的中点，则异面直线BD₁与MC₁所成角的大小为　．

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15. （本题5分）已知圆O：x²+y²＝4，A，B是圆上两点，点P（1，2）且PA⊥PB，则|AB|最大值是．

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16. （本题5分）数列{a_n}的前m项为

，若对任意正整数n，有a_n_+m＝a_nq（其中q为常数，q≠0且q≠1），则称数列{a_n}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列，已知似周期性等比数列{b_n}的前4项为1，1，1，2，周期为4，周期公比为3，则数列{b_n}前4t+2项的和等于　．（t为正整数）

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标，随机抽取了部分产品进行检测，所得数据统计如图所示．
（1）求a的值以及这批产品的优质率（注：产品质量指标达到130及以上为优质品）；
（2）若按照分层的方法从质量指标值在[110，130）的产品中随机抽取7件，再从这7件中随机抽取2件，求至少有一件的指标值在[120，130）的概率；
（3）以本次抽检的频率作为概率，从工厂生产的所有产品中随机抽出4件，记这4件中优质产品的件数为X，求X的分布列与数学期望．

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18. （本题12分）如图，△ABC，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE．
（Ⅰ）证明：EF⊥平面PBE；
（Ⅱ）设N为线段PF上动点，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值．

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19. （本题12分）在数列{a_n}中，a₁＝1，a₂＝3，且对任意的n∈N^*，都有a_n₊₂＝3a_n₊₁﹣2a_n．
（Ⅰ）证明数列{a_n₊₁﹣a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设

，记数列{b_n}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N^*都有

，求实数m的取值范围．

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20. （本题12分）已知函数

（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x₁，x₂，证明：

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21. （本题12分）椭圆E：

＝1（a＞b＞0）的离心率是

，点M（

，1）是椭圆E上一点，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求△AOB面积的最大值；
（3）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使

恒成立？存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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22. （本题10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为

．
（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知点

，直线l过点Q且与曲线C相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝|2x+a|+1，
（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；
（2）若存在a∈[﹣

，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a²|的解集非空，求b的取值范围．

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dygzsxyn

2023-12-29

高中数学 | 考试 | 难度:1.39

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