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2021-2022学年陕西省西安市长安一中高二（上）期中数学试卷（文科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(14小题共70分)

1. （本题5分）已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x＞2}，下图中阴影部分所表示的集合为（　　）

A.{1}

B.{0，1}

C.．{1，2}

D.．{0，1，2}

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2. （本题5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB＝asinA，则△ABC的形状为（　　）

A.．锐角三角形

B.．直角三角形

C.钝角三角形

D.不确定

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3. （本题5分）设

，

均为单位向量，则“|

﹣6

|＝|6

|”是“

⊥

”的（　　）

A.充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
C.．充分必要条件	D.．既不充分也不必要条件

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4. （本题5分）若变量x，y满足约束条件

，则z＝2x﹣3y的最小值为（　　）

A.2

B.﹣2

C.﹣3

D.．﹣4

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5. （本题5分）已知等比数列{a_n}满足a₁＝3，a₁+a₃+a₅＝21，则a₃+a₅+a₇＝（　　）

A.21

B.．42

C.．63

D.84

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6. （本题5分）若α∈（0，

），tan2α＝

，则cosα＝（　　）

B.．

C.．

D.．

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7. （本题5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r＝（　　）

A.．1

B.2

C.4

D.8

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8. （本题5分）设双曲线

的渐近线与抛物线y＝2x²+1相切，则该双曲线的离心率等于（　　）

B.．3

C.．2

D.．

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9. （本题5分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，如函数

的图像大致是（　　）

C.．

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10. （本题5分）设向量

＝（1，﹣2），

＝（a，﹣1），

＝（﹣b，0），其中O为坐标原点，a＞0，b＞0，若A，B，C三点共线，则

的最小值为（　　）

A.4

B.6

C.8

D.9

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11. （本题5分）我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积为“三斜公式”，设△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为：S＝

，若a²sinC＝4sinA，（a+c）²＝12+b²，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（　　）

A.6

C.3

D.．

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12. （本题5分）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有

，则m的最大值是（　　）

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13. （本题5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y²＝4x，过抛物线C的焦点有斜率存在且不为0的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则直线AB的方程为（　　）

A.2x﹣y﹣2＝0

B.．x﹣y﹣1＝0

C.2x+y﹣2＝0

D.x+y﹣1＝0

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14. （本题5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm³）的最大值为（　　）

D.．

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二、填空题(6小题共30分)

15. （本题5分）在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（

），则cos（2θ+

）＝　　．

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16. （本题5分）已知函数f（x）为偶函数，且在[0，+∞）单调递增，f（﹣2）＝0，则满足f（2x﹣1）＜0的x的取值范围为　．

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17. （本题5分）曲线y＝（ax+2）e^x在点（0，2）处的切线的斜率为﹣2，则a＝　　．

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18. （本题5分）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移

个单位长度，得到函数

的图像，则下列关于函数f（x）的说法正确的有　　．
①f（x）的周期为2π；
②f（x）在

单调递增；
③f（x）在

单调递减；
④f（x）的一条对称轴的方程为

．

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19. （本题5分）设B是椭圆

的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为　．

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20. （本题5分）若函数f（x）＝2x³﹣ax²+1（a∈R）在区间（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在区间[﹣1，1]上的最小值是　　．

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三、解答题(4小题共50分)

21. （本题12分）已知数列{a_n}满足a₁＝

，且3a_na_n₊₁﹣2a_n+2a_n₊₁＝0，n∈N^*．
（1）证明：

为等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）令c_n＝

，S_n＝c₁+c₂+⋯+c_n，求S_n．

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22. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD
（Ⅰ）证明：BD⊥PC
（Ⅱ）若AD＝6，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．

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23. （本题13分）已知函数f（x）＝

．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；
（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．

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24. （本题13分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：

+y²＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足

＝

．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点Q在直线x＝﹣3上，且

•

＝1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

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dygzsxyn

2021-11-16

高中数学 | 考试 | 难度:1.54

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