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2015-2016学年陕西省西安市高新一中高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(10小题共50分)

1. （本题5分）下列曲线中，离心率为2的是（　　）

D.．

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2. （本题5分）如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个腰为1的等腰直角三角形，那么原平面图形的面积是（　　）

A.．

B.．

D.．

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3. （本题5分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（　　）

A.若m∥α，n∥α，则m∥n	B.．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C.．若m⊥α，m⊥n，则n∥α	D.．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

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4. （本题5分）曲线y＝x²﹣1与直线y＝2x+2轴围成的封闭部分的面积为（　　）

B.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）函数f（x）的图象如图所示，下列数值排序正确的是（　　）

A.．0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）

B.0＜f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）

C.．0＜f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）

D.．0＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）

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6. （本题5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是（　　）

A.90cm²

B.129cm²

C.．132cm²

D.．138cm²

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7. （本题5分）设a∈R，若函数y＝e^x+ax，x∈R没有极值点，则（　　）

A.a＞1

B.0＜a＜1

C.．a≥0

D.a＞0

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8. （本题5分）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（　　）

A.．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B.．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C.．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D.．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

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9. （本题5分）已知椭圆E的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁且斜率为2的直线交椭圆E于P，Q两点，若

，则椭圆E的离心率为（　　）

C.．

D.．

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10. （本题5分）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是（　　）

B.．

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二、填空题(4小题共20分)

11. （本题5分）已知正方形ABCD的面积为8，沿对角线AC把△ACD折起，则三棱锥D﹣ABC的外接圆的表面积等于　　．

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12. （本题5分）若曲线f（x）＝x•sinx+1在x＝

处的切线与直线ax+2y+1＝0互相垂直，则实数a等于　　．

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13. （本题5分）已知圆C的圆心与抛物线y²＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x﹣3y﹣2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的标准方程为　　

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14. （本题5分）已知函数f（x）=e^x+alnx的定义域是D，关于函数f（x）给出下列命题：
①对于任意a∈（0，+∞），函数f（x）是D上的增函数；
②对于任意a∈（-∞，0），函数f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得对于任意的x∈D，都有f（x）＞0成立；
④存在a∈（-∞，0），使得函数f（x）有两个零点；
其中正确命题的序号是．

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三、解答题(7小题共80分)

15. （本题10分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1．M是棱SB的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）求证：平面SDC⊥平面SBC．

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16. （本题10分）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₁的极坐标方程为

，P为C₁与x轴的交点，已知曲线C₂的参数方程为

（θ为参数），M，N是曲线C₂上的两点且对应的参数分别为θ＝α，

，其中α∈R．
（Ⅰ）写出曲线C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）求|PM|²+|PN|²的取值范围．

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17. （本题12分）如图，ABCD是边长为3的正方形，ABEF是矩形，平面ABCD⊥平面ABEF，G为EC的中点．
（Ⅰ）求证：AC∥平面BFG；
（Ⅱ）若三棱锥C﹣DGB的体积为

，求三棱柱ADF﹣BCE的体积．

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18. （本题12分）已知点

是椭圆E：

（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，是否存在λ，满足

（0＜λ＜4，且λ≠2），且M（2，1）到AB的距离为

？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．

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19. （本题12分）已知函数f（x）＝

（a^x﹣a^﹣x），其中a＞0，a≠0．
（Ⅰ）讨论f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）试比较f（1）﹣1与f（2）﹣2，f（2）﹣2与f（3）﹣3的大小，并由此归纳出f（x）﹣x与f（x+1）﹣（x+1）（其中x≥1）的大小关系，并给出证明．

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20. （本题12分）对任意的正整数n，以及任意n个互不相同的正整数a₁，a₂，…，a_n，若不等式

恒成立，求整数λ的最小值．

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21. （本题12分）三棱锥V﹣ABC的三条棱VA，VB，VC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角大小分别为α，β，γ．求证：

．

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dygzsxyn

2015-02-23

高中数学 | 考试 | 难度:1.57

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