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2016-2017学年陕西省西安交大附中高二（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共36分)

1. （本题3分）已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（　　）
【选项】∀x∈R，x＜2

A.∃x∈R，x≤2

B.．∀x∈R，x≤2

C.．∃x∈R，x＜2

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2. （本题3分）双曲线

的渐近线方程为（　　）

A.．

B.．

C.．y＝3x

D.．

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3. （本题3分）已知点A是椭圆

上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|＝焦距，则椭圆的离心率是（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．

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4. （本题3分）已知p：x²﹣4x﹣5＞0，q：x²﹣2x+1﹣λ²＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（　　）

A.（0，1]

B.．（0，2）

C.．

D.．（0，2]

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5. （本题3分） P是双曲线

﹣

＝1（a＞0，b＞0）上的点，F₁、F₂是其焦点，且

＝0，若△F₁PF₂的面积是9，a+b＝7，则双曲线的离心率为（　　）

B.．

C.．

D.．

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6. （本题3分）已知命题p₁：函数y＝2^x﹣2^﹣x在R上为增函数，p₂：函数y＝2^x+2^﹣x在R上为减函数，则在命题q₁：p₁∨p₂，q₂：p₁∧p₂；q₃：（￢p₁）∨p₂；q₄：p₁∨（￢p₂）；其中为真命题的是（　　）

A.q₁和q₃

B.q₂和q₃

C.．q₁ 和q₄

D.．q₂和q₄

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7. （本题3分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y₀）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝（　　）

A.．

B.．

C.．4

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8. （本题3分）已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（　　）

A.﹣4

B.．1

C.．10

D.．11

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9. （本题3分）过抛物线y²＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果x₁+x₂＝6，那么|AB|＝（　　）

A.8

B.10

C.．6

D.．4

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10. （本题3分）在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若

＝2x

+3y

+3z

，则x+y+z等于（　　）

B.．

D.．

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11. （本题3分）已知双曲线

﹣

＝1（a＞0，b＞0）与抛物线y²＝8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则点F到双曲线的渐近线的距离为（　　）

B.．2

C.．

D.．3

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12. （本题3分）在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，

＝λ

（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，

＝f（λ）

，则（　　）

A.．f（λ）＝

B.．f（λ）＝

C.．f（λ）＝

D.．f（λ）＝

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二、填空题(4小题共16分)

13. （本题4分）已知双曲线

的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，则椭圆

的离心率e＝　．

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14. （本题4分）已知双曲线的两个焦点F₁（﹣

，0），F₂（

，0），P是此双曲线上的一点，且

•

＝0，|

|•|

|＝2，则该双曲线的方程是　．

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15. （本题4分）已知直线l，m的方向向量分别是

＝（1，1，0），

＝（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是　　．

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16. （本题4分）设平面α的一个法向量为

＝（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为

＝（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k＝　　．

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三、解答题(8小题共68分)

17. （本题6分）已知椭圆的长轴长为10，两焦点F₁，F₂的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）
（1）求椭圆的标准方程．
（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F₁PF₂的面积．

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18. （本题9分）设命题p：方程

＝1表示双曲线；命题q：∃x₀∈R，x₀²+2mx₀+2﹣m＝0
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．

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19. （本题10分）设抛物线y²＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．
（1）若直线l的斜率为

，求证：

；
（2）设直线FA，FB的斜率分别为k₁，k₂，求k₁+k₂的值．

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20. （本题11分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB＝AE，DB＝DE，∠BAE＝∠BDE＝90°
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．

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21. （本题12分）已知直线l与椭圆

交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为

，向量

＝（ax₁，by₁），

＝（ax₂，by₂），且

⊥

，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

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22. （本题5分）曲线

（θ为参数）上一点P到点A（﹣2，0）、B（2，0）距离之和为　　．

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23. （本题5分）在极坐标系中，点（1，0）到直线ρ（cosθ+sinθ）＝2的距离为　．

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24. （本题10分）已知圆C₁的参数方程为

（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C₂的极坐标方程为ρ＝2

cos（θ﹣

）．
（Ⅰ）将圆C₁的参数方程他为普通方程，将圆C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C₁，C₂是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由．

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dygzsxyn

2016-02-10

高中数学 | 考试 | 难度:1.46

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