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2019-2020学年陕西省西安市高新一中高三（上）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设复数z满足1+3iz＝z，则|z|＝（　　）

B.．

C.．

D.．

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2. （本题5分）已知集合A＝{x∈Z|x²+2x﹣8＜0}，B＝{x²|x∈A}，则B中元素个数为（　　）

A.4

B.．5

C.．6

D.．7

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3. （本题5分）函数f（x）＝2

的图象大致是（　　）

C.．

D.．

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4. （本题5分）已知a∈R，则“a＜

”是“

＞2”的（　　）

A.．充分不必要条件	B.必要不充分条件
C.．充要条件	D.．既不充分也不必要条件

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5. （本题5分）为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间[300，500）的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③样本的中位数为480万元．
其中正确结论的个数为（　　）

A.．0

B.．1

C.．2

D.．3

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6. （本题5分）某班举行了由甲、乙、丙、丁、戊5名学生参加的“弘扬中华文化”的演讲比赛，决出第1名到第5名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从这个回答分析，5人的名次排列情况可能有（　　）

A.36种

B.．54种

C.．58种

D.72种

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7. （本题5分）已知平面非零向量

，

满足：（

）⊥（

﹣2

），

在

方向上的投影为﹣

|，则

与

夹角的余弦值为（　　）

A.﹣

B.﹣

C.．﹣

D.﹣

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8. （本题5分）已知非零实数a，b满足a＞|b|+1，则下列不等关系不一定成立的是（　　）

A.．a²＞b²+1

B.．2^a＞2^b⁺¹

C.．a²＞4b

D.．

＞b+1

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9. （本题5分）孙子定理在世界古代数学史上具有相当高的地位，它给出了寻找共同余数的整数问题的一般解法．如图是某同学为寻找共同余数为2的整数n而设计的程序框图，若执行该程序框图，则输出的结果为（　　）

A.29

B.30

C.31

D.．32

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10. （本题5分）已知AB是圆O：x²+y²＝1的任意一条直径，点P在直线x+2y﹣a＝0（a＞0）上运动，若

的最小值为4，则实数a的值为（　　）

A.．2

B.4

C.5

D.．6

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11. （本题5分）已知双曲线C：

﹣

＝1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），过点F且斜率为1的直线与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的垂直平分线与x轴交于点P（2c，0），则双曲线C的离心率为（　　）

B.．

C.．

D.2

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12. （本题5分）关于函数f（x）＝sin2x•|sinx|有下述四个结论：
①f（x）的图象关于点（

，0）对称
②f（x）的最大值为

③f（x）在区间（﹣

，

）上单调递增
④f（x）是周期函数且最小正周期为π
其中所有正确结论的编号是（　　）

A.①②

B.．①③

C.．①④

D.．②④

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）甲乙两队正在角逐排球联赛的冠军，在刚刚结束的前三局比赛中，甲队2胜1负暂时领先，若规定先胜三局者即为本次联赛冠军，已知两队在每局比赛中获胜的概率均为

，且各局比赛结果相互独立，则甲队最终成为本次排球联赛冠军的概率为　．

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14. （本题5分）已知（1﹣mx）⁷＝a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷，若a₄＝35，则实数m＝　　．

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15. （本题5分）已知α+β＝

，tanα＝2tanβ，则sin（α﹣β）＝　．

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16. （本题5分）已知数列{a_n}满足a_n₊₁＝a_ncos（n+1）π+3n，则数列{a_n}的前40项和为　　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题12分）已知函数f（x）＝

sinxcosx+sin²x﹣

．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，BM＝3MC，若f（A）＝1，b＝2，c＝3，求AM．

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18. （本题12分）某地区在“精准扶贫”工作中切实贯彻习近平总书记提出的“因地制宜”的指导思想，扶贫工作小组经过多方调研，综合该地区的气候、地质、地理位置等特点，决定向当地农户推行某类景观树苗的种植．工作小组根据市场前景重点考察了A，B，C三种景观树苗，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.75．
（1）若引种树苗A，B，C各一棵，求至少自然成活2棵的概率；
（2）已知引种一棵树苗B需花费100元，引种后没有自然成活的树苗B中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，每棵需花费50元，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．引种后自然成活的树苗B及经人工栽培技术处理后成活的树苗B在后期（成活后至长成可出售的小树）的培养过程中每棵均需再花费200元，记引种一棵树苗B的总花费为X元，求随机变量X的分布列及数学期望．

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19. （本题12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n＝2a_n+n²．
（1）证明：数列{a_n﹣2n﹣3}是等比数列；
（2）设b_n＝2n﹣a_n，证明：

+…+

＜

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20. （本题12分）已知圆O：x²+y²＝4与x轴的正半轴交于点A，过圆O上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点的轨迹记为曲线Γ，设过原点O且异于两坐标轴的直线与曲线Γ交于B，C两点，直线AB与圆O的另一个交点为M，直线AC与圆O的另一个交点为N，设直线AB，AC的斜率分别为k₁，k₂．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）判断

是否为定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝e^x（x﹣2），g（x）＝x﹣lnx．
（1）求函数y＝f（x）+g（x）的最小值；
（2）设函数h（x）＝f（x）﹣ag（x）（a≠0），讨论函数h（x）的零点个数．

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22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ²﹣8ρcosθ﹣6ρisinθ﹣11＝0．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l的参数方程为

，（t为参数，0≤α＜π），点P（1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．

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23. （本题0分）已知不等式|x﹣2|﹣|x﹣m|≤1对任意x∈R成立，记实数m的最小值为m₀．
（1）求m₀；
（2）已知实数a，b，c满足：a+b+2c＝m₀，a²+b²+c²＝

，求c的最大值．

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dygzsxyn

2020-02-04

高中数学 | 考试 | 难度:1.17

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