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2024-2025学年陕西省西安市长安一中高一（下）第一次月考数学试卷

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(11小题共58分)

1. （本题5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则A∩B＝（　　）

A.{1，2，3}

B.{2，3}

C.∅

D.．{2}

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2. （本题5分）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1mg/m³为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05mg/m³，使用了甲醛喷剂并处于良好的通风环境下时，室内甲醛浓度y（t）（单位：mg/m³）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N）（单位：周）近似满足函数关系式y＝0.05+λe^﹣t（λ∈R），则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ln2≈0.7，ln3≈1.1，ln5≈1.6）（　　）

A.5周

B.6周

C.．7周

D.．8周

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3. （本题5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（　　）

海里

C.．

海里

D.．

海里

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4. （本题5分）已知非零向量

，

满足

，且

，则

与

的夹角为（　　）

A.．

B.．

C.．

D.．

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5. （本题5分）若实数m，n满足

，则mn的最小值为（　　）

D.．

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6. （本题5分）已知

，

，则（　　）

A.a＞b＞c

B.．c＞b＞a

C.b＞a＞c

D.a＞c＞b

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7. （本题5分）已知

，

，则cos（2α+2β）＝（　　）

C.．

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8. （本题5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，

，若关于x的方程mln|x|＝f（x）至少有8个实数解，则实数m的取值范围是（　　）

A.	B.
C.	D.．

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9. （本题6分）如图，设Ox，Oy是平面内相交成120°角的两条数轴，

分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量．若向量

，则把有序数对（x，y）叫做向量

在坐标系xOy中的坐标．若在坐标系xOy中，

，则下列结论正确的是（　　）

D.．与的夹角的余弦值为

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10. （本题6分）已知a，b，c∈R，则下列结论正确的是（　　）

A.若a＞b＞0，则

B.．若ac²＞bc²，则a＞b

C.若a＞b＞0，

D.．的最小值为

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11. （本题6分）已知函数f（x）＝x²+2x+2^|x+1|+a，a∈R，则下列结论正确的是（　　）

A.函数f（x）图象为轴对称图形

B.函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减

C.．存在实数m，使得f（x）＝m有三个不同的解

D.．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）

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二、填空题(3小题共15分)

12. （本题5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0且ω＞0，

）的部分图象如图所示，函数解析式为　．

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13. （本题5分）莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形ABC的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知A，B两点间的距离为2，点P为

上的一点，则

的最小值为　．

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14. （本题5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b＝4，c＝6，△ABC的面积S满足（b+c）²＝

，点O为△ABC的外心，则

＝　　；△ABC的面积S＝　　．

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三、解答题(5小题共77分)

15. （本题13分）已知函数f（x）＝log_a

（a＞0且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性并给出证明；
（2）若f（2m﹣1）+f（3m﹣2）＜0，求实数m的取值范围．

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16. （本题15分）如图，在直角△ABC中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，

，

．
（1）用

，

表示

和

；
（2）求向量

与

夹角的正弦值．

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17. （本题15分）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB＝2acosA．
（1）求角A的大小；
（2）若b＝2，求△ABC面积的取值范围．

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18. （本题17分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD为∠BAC平分线，

．
（1）求∠A；
（2）AD上有点M，∠BMC＝90°，求tan∠ABM．

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19. （本题17分）已知函数

．
（1）若函数F（x）＝f（x）﹣ln[（2﹣a）x+3a﹣3]有唯一零点，求实数a的取值范围；
（2）若对任意实数

，对任意x₁，x₂∈[m，4m﹣1]，恒有|f（x₁）﹣f（x₂）|≤ln2成立，求正实数a的取值范围．

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dygzsxyn

2025-04-10

高中数学 | 考试 | 难度:1.74

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