已知函数则下列结论正确的是函数图象为轴对称图形函数在单调递减存在实数使得有三个不同的解存在实数使得关于的不等式的解集为

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231784. （2025•长安区一中•高一下一月）已知函数f（x）＝x²+2x+2^|x+1|+a，a∈R，则下列结论正确的是（　　）

A.函数f（x）图象为轴对称图形

B.函数f（x）在（﹣∞，﹣1）单调递减

C.．存在实数m，使得f（x）＝m有三个不同的解

D.．存在实数a，使得关于x的不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）

共享时间:2025-04-10 难度:3

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[考点]

命题的真假判断与应用，函数的图象与图象的变换，函数的零点与方程根的关系，

[答案]

ABD

[解析]

解：f（x）＝x²+2x+2^|x+1|+a＝（x+1）²+2^|x+1|+a﹣1，
f（﹣1+x）＝x²+2^|x|+a﹣1，f（﹣l﹣x）＝x²+2^|x|+a﹣1＝f（﹣l+x），
所以f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，A选项正确；
由于函数y＝（x+1）²在区间（﹣∞，﹣1）上递减，y＝2^|x+1|在区间（﹣∞，﹣1）上递减，
所以函数f（x）＝（x+1）²+2^|x+1|+a﹣1在（﹣∞，﹣1）单调递减，B选项正确；
由上述分析可知：f（x）的图象关于直线x＝﹣1对称，f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上递减，在区间（﹣1，+∞）上递增，
所以不存在实数m使得f（x）＝m有三个不同的解，C选项错误；
令

，解得a＝3，
此时不等式f（x）≥5的解集为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），D选项正确．
故选：ABD．

[点评]

本题考查了"命题的真假判断与应用，函数的图象与图象的变换，函数的零点与方程根的关系，"，属于"难典题"，熟悉题型是解题的关键。

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