阅读下列材料小华遇到这样一个问题如图中在内部有一点连接求的最小值小华是这样思考的要解决这个问题首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离然后再将它们连接成一条折线并让折线的两个端点为定点这样依据两点之间线段最短就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折旋转平移的方法发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是如图将绕点顺时针旋转得到连接

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24200. （2017•爱知中学•八下期中）阅读下列材料：
小华遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5，在△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
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共享时间:2017-05-06 难度:5

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[考点]

三角形的外角性质，等边三角形的判定与性质，一角为60度的等腰三角形是等边三角形，勾股定理，菱形的判定与性质，几何变换综合题，费马点问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图2．∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△EDC，
∴△APC≌△EDC，
∴∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝5，∠PCD＝60°，
∴∠ACP+∠PCB＝∠ECD+∠PCB，
∴∠ECD+∠PCB＝∠ACB＝30°，
∴∠BCE＝∠ECD+∠PCB+∠PCD＝30°+60°＝90°．
在Rt△BCE中，∵∠BCE＝90°，BC＝6，CE＝5，
∴BE＝

＝

，
即PA+PB+PC的最小值为

；

（2）①将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；

②如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．

∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP＝CE，∠PCE＝60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE＝CE＝CP，∠EPC＝∠CEP＝60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP＝∠CBP＝

∠ABC＝30°，
∴∠PCB＝∠EPC﹣∠CBP＝60°﹣∠30°＝30°，
∴∠PCB＝∠CBP＝30°，
∴BP＝CP，
同理，DE＝CE，
∴BP＝PE＝ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC＝90°，∠OBC＝30°，BC＝4，
∴BO＝BC•cos∠OBC＝4×

＝2

，
∴BD＝2BO＝4

，
∴BP＝

BD＝

．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为

．
故答案为：

．

[点评]

本题考查了"三角形的外角性质,等边三角形的判定与性质,一角为60度的等腰三角形是等边三角形,勾股定理,菱形的判定与性质,几何变换综合题,费马点问题"，属于"压轴题"，综合性较强，有一定难度．读懂阅读材料，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199022. （2023•交大附中•八下期中）如图，在等边△ABC外作射线AD，∠BAD=α（0°＜α＜90°），点B关于直线AD的对称点为P，连接PB，PC，其中PB，PC分别交射线AD于点E，F．
（1）依题意补全图形；
（2）若α=15°，求∠BPC的度数；
（3）用等式表示线段AF，EF与CF之间的数量关系，并证明．
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共享时间:2023-05-25 难度:1 相似度:1.14

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185034. （2024•雁塔二中•八下一月）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，∠A=90°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．
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（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）如图3，若点D在线段BE上，且BC=13，DE=7，求CE的长．
（3）当旋转角α= 时，△ABD的面积最大．

共享时间:2024-04-27 难度:1 相似度:1.14

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179954. （2024•陆港中学•八下期中）【问题发现】
（1）崔老师在铁一陆港中学八年级数学学科活动中引导学生研究了三角形的旋转变换，如图①，在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，CE的最小值是　　；
刘老师让同学们研究了以下问题：
【问题探究】
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是边AB上的一动点，连接CD，CD绕点C逆时针旋转90°，得到CE，连接BE，求出△BDE的面积的最大值；
韩老师又让同学们研究了以下问题：
【问题解决】
（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，

，点D是边BC的中点，点E是AB上任意一点，连接DE，DE绕点D逆时针旋转60°，得到DF，连接EF，此时△BEF的面积是否存在最大值；若存在，求出△BEF的面积的最大值；若不存在请说明理由．（E、F在BC的两侧）

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:1.14

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180986. （2024•高新二中•八下一月）综合与探究
在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角度记为α．
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（1）操作与证明：如图1，若α=60°，点D为边BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．写出BD和CE的数量关系：，∠BCE= °；
（2）探究与发现：如图2，若α=90°，点D变为BC延长线上一动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转角度α至AE位置，连接DE，CE．试判断BD和CE的数量关系，并说明理由；
（3）判断与思考：在（2）的探究中，若α=90°，BC=3，点D为直线BC上一点，当CD=1时，直接写出DE的长．

共享时间:2024-04-24 难度:1 相似度:1.14

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181082. （2023•西安市航天城第一中学•九上二月）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2．连接AA₁，CC₁若AA₁=4

√

，求CC₁的长；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁求线段EP₁长度的最大值与最小值．
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共享时间:2023-12-19 难度:1 相似度:1.14

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181393. （2024•经开一校(原经发)•七下二月） $德优题库$ 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P（请保留作图痕迹），且求出PC= ．

共享时间:2024-06-10 难度:1 相似度:1.14

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181536. （2023•曲江一中•九上一月） $德优题库$ 如图，在Rt△AOB中，∠B=90°，点P是边OA上一点，请用尺规作图法在边OB上求作一点Q，使得OP²=OQ²+PQ²．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2023-10-14 难度:1 相似度:1.14

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185349. （2024•师大附中•八下期中）旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：△ABC和△DEF均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接AE、CF．
观察猜想：
（1）如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为　　；
探究发现：
（2）如图2，当点E、F在△ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、AE与DE之间的数量关系，并说明理由；
解决问题：
（3）若△ABC中，

，在△DEF旋转过程中，当

且C、E、F三点共线时，直接写出DE的长．

共享时间:2024-05-23 难度:1 相似度:1.14

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179809. （2025•交大附中•八下期中）【问题提出】
（1）如图①，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，D为BC上一点，将△ADC绕点A逆时针旋转90°，D的对应点为D'，则∠D′BC＝　 °．
【问题探究】
（2）如图②，△ABC为等边三角形，D，E为边BC上的点，已知CE＝BD＝2，∠DAE＝30°，求△ABC的边长．
【问题解决】
（3）为开展劳动实践教育，培养学生综合素养．某校准备规划一块三角形的生物基地△ABC，用来种植花卉，如图③，其中∠ABC＝45°，D为AC边上一点，E为BC边上一点，BD，DE是规划过程中修建的两条小路，要求AD＝12

m，∠ADB＝45°，DE⊥AC，且DE＝9

m，现计划在四边形ABED区域内种植三色堇，在△DEC区域内种植石竹，经了解．种植三色堇的费用为30元/m²，种植石竹的费用为40元/m²，请你帮助学校计算这块生物基地种植花卉的总费用．（小路的宽度忽略不计）

共享时间:2025-05-24 难度:1 相似度:1.14

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185445. （2024•莲湖区•八下期中） $德优题库$ 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1．
（1）分别求出线段AB、AC、BC的长．
（2）判断△ABC的形状，并说明你的理由．

共享时间:2024-05-21 难度:1 相似度:1.14

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185599. （2024•西工大附中•八下期中）问题探究：
（1）在△ABC中，AB=AC，∠A=α，点D在AC边上，点E是射线BC上一动点，将线段DE绕点D逆时针旋转，旋转角为α，得到线段DF，连接EF，DG∥AB交BC于点G．
①如图1，当α=60°时，点D为线段AC的中点，则线段CF与GE的数量关系是．
②如图2，当α=90°时，点D为线段AC的中点，AB=4，当AF的长度最小时，CF的长度为．
综合运用：
（2）如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，若D是AC边上一点，AB=8，且AD：DC=1：3，E是BC边上的动点，若点E绕点D顺时针旋转30°的对应点是F，连接BF，EF，求BF长度的最小值．
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共享时间:2024-05-17 难度:1 相似度:1.14

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190188. （2025•蓝田县•八上期末） $德优题库$ 如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂AB=1.3m,点B到地面CD的距离BC=DE=2m,点B到AD的距离BE=1.2m,BE⊥AD于E，BC⊥CD，AD⊥CD，求点A到地面CD的距离AD的长为多少米？

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.14

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190318. （2025•高陵区•八上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，BC=5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD=BD=3，求AB，AC的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.14

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190419. （2025•铁一中学•七上期末）如图1，点O为直线MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边OD，OB在直线MN上，∠COD=∠AOB=90°．
$德优题库$
（1）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=30°，则∠BOD= ；
（2）将图1中的三角板COD绕点O沿顺时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒后OD所在的直线平分∠AOB？
（3）将图1中的三角板COD绕点O沿逆时针方向按每秒12°的速度旋转两周，同时三角板AOB绕点O沿逆时针方向按每秒4°的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后OC所在的直线平分∠AON？

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.14

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192221. （2024•高新三中•八下二月）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．
$德优题库$
（1）请画出△ABC关于x轴对称的图形△A₁B₁C₁；
（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A₂B₂C₂；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小（不写作法，保留作图痕迹）．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.14

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2017-05-06

初中数学 | 八年级下 | 解答题

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2016-2017学年陕西省西安市爱知中学八下数学期中试卷

更新:2017-05-06 12:11浏览量:710

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