如图已知是的直径弦与交于点过点作的切线与的延长线交于点交直线于点若求证是的切线如果且为的中点求直径的长

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6067. （2017•铁一中学•模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，CG∥AB交直线AF于点G
（1）若AC＝BC，求证：CG是⊙O的切线；
（2）如果DE＝

CE，AC＝8

且D为EF的中点，求直径AB的长．

共享时间:2017-05-28 难度:3

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相似

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[考点]

互余关系，勾股定理，相似三角形的判定与性质，切线定理，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）连接OC，

∵AC＝BC，
∴

＝

，
∴OC⊥AB，
∵AB∥CG，
∴∠OCG＝90°，
∴OC⊥CG，
∴CG是⊙O的切线；
（2）连接AD，BD．

∵DE＝

CE，D是EF的中点，
∴可以假设CE＝4k，DE＝3k，则DF＝3k，
∵AF是切线，AB是直径，
∴∠BAF＝∠ADB＝90°，
∴∠DAF+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠DAF＝∠ABD，
∵∠ACF＝∠ABD，
∴∠FAD＝∠ACF，
∴∠F＝∠F，∠FAD＝∠ACF，
∴△FAD∽△FCA，
∴

＝

，
∴AF²＝FD•FC，
∴AF²＝30k²，
在Rt△AEF中，AE＝

＝

k，
∵AE•EB＝DE•CE，
∴BE＝2

k，
∵AD＝DE＝DF，
∴∠DAE＝∠DEA＝∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE＝2

k，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC²+BC²＝AB²，
∴64×5+24k²＝54k²，
∴k＝

，
∴AB＝3

k＝24．

[点评]

本题考查了"勾股定理切线定理相似三角形的判定与性互余关系 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.75

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6243. （2016•铁一中学•真题））如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：
（1）∠PBC＝∠CBD；
（2）BC²＝AB•BD．

共享时间:2017-07-03 难度:3 相似度:1.5

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24637. （2022•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:1.5

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846. （2014•陕西省•真题）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求AC的长．

共享时间:2014-09-18 难度:2 相似度:1.5

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1050. （2019•陕西省•真题）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB＝BE；
（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.5

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:1.5

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22440. （2021•师大附中•九上一月）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，

=2，求

的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=8，AC=4

，则AD的长为．
$德优题库$

共享时间:2021-10-15 难度:5 相似度:1.35

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
$德优题库$

共享时间:2017-05-30 难度:4 相似度:1.35

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:1.35

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196553. （2024•莲湖区•八下期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D．若AC＝

，CD＝5，BC＝13，求AB的长．

共享时间:2024-07-24 难度:1 相似度:1.25

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173998. （2024•西工大附中•九上一月） $德优题库$ 在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．格点△ABC（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是B（-4，2），C（-1，1）．
（1）请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点A的坐标；
（2）以O为位似中心在网格内画出△ABC的位似图形△A₁B₁C₁，使△ABC与其位似图形的相似比为1：2，并计算△A₁B₁C₁的周长．

共享时间:2024-10-27 难度:1 相似度:1.25

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196582. （2024•莲湖区•八上期末）如图，在平面直角坐标系中，直线