问题提出如图等边有条对称轴问题探究如图在中等边的顶点分别在上且连接并延长与交于点过点作交于点作交于点连接求问题解决如图是一圆形景观区示意图的直径为等边的边是的弦顶点在内延长交于点延长交于点连接现准备在和

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1145. （2020•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，等边△ABC有　　条对称轴
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=15，等边△EFP的顶点E，F分别在BA，BC上，且BE=BF=2．连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′∥PE交AB于点E′，作P′F′∥PF交BC于点F′，连接E′F′，求S_{△P′E′F′}．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积（S_△PAB+S_△PCD）的最小值．
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共享时间:2020-07-31 难度:5

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[考点]

二次函数的性质，二次函数与面积最值问题，二次函数的应用题，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，特殊角的三角函数值，

[答案]

答案详情如下

[解析]

解：（1）等边三角形有三条对称轴，是它的三边的垂直平分线，
故答案为：3；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PEF＝60°＝∠BFE，
∴PE∥BC，
同理，PF∥AB，
∴四边形BFPE是平行四边形，
又∵BE＝BF，
∴▱BFPE是菱形，
∴BP'平分∠ABC，
∴∠ABP'＝

∠ABC＝30°，
在Rt△ABC中，∠C＝30°，BC＝15，
∴AB＝

BC＝

，
在Rt△ABP'中，∠ABP'＝30°，tan30°＝

，
∴AP'＝ABtan30°＝

，
∵P'E'∥BC，
∴∠AP'E'＝30°，
在Rt△AP'E'中，cos30°＝

，
∴P'E'＝

＝5，
同理可证，△P'E'F'是等边三角形，
∴E'F'＝P'E'＝5，
如图②，E'F'与BP'的交点记作点O，

同理得，四边形BF'P'E'是菱形，
∴BP'⊥E'F'，∠OP'E＝

∠E'P'F'＝30°，
∴OP'＝P'E'cos30°＝

，
∴S_{△P′E′F′}＝

E'F'•OP'＝

；
（3）设AB的长为x，则CP＝AC﹣x，
∵△APB是等边三角形，
∴AB＝PB＝AP，∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，∠D＝∠A＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴S_△PAB+S_△PCD＝

x²+

（AC﹣x）²＝

（2x²﹣2CA•x+CA²），
∴当x＝

＝

时，S_△PAB+S_△PCD有最小值，
∴AB＝AP＝PC，
∴DP＝BP，
∴此时点P与点O重合，则AC是直径，
∵⊙O的直径为60m，
∴PA＝PB＝AB＝30（m），
∴S_△PAB+S_△PCD最小值＝450

（m²）．

[点评]

本题考查了"二次函数的性质二次函数的应用题等边三角形的判定与性菱形的判定与性质特殊角的三角函数值二次函数与面积最值问题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.17

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781. （2019•陕西省•副题）在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.17

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68. （2019•永州市•真题）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1

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1140. （2020•陕西省•副题）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF=MN，他们测得BD=4.5米，EM=1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？
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共享时间:2020-07-31 难度:3 相似度:0.67

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70. （2019•榆林市•期末）如图，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．
（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．
（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:0.67

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2765. （2020•益新中学•模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE，CE相交于点E．
求证：四边形BDCE是菱形．
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共享时间:2020-06-26 难度:3 相似度:0.67

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80. （2020•十堰市•真题）已知抛物线y＝ax²﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.67

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3119. （2018•滨河中学•真题）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+

x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣

x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．
（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．
（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．
（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．

共享时间:2019-06-03 难度:4 相似度:0.62

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:0.5

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63. （2019•湘潭市•真题）如图一，抛物线y＝ax²+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，

）三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）P（x₁，y₁）、Q（4，y₂）两点均在该抛物线上，若y₁≥y₂，求P点横坐标x₁的取值范围；
（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.5

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3110. （2019•滨河中学•模拟）计算：﹣1²⁰¹⁸+

﹣（

﹣1）⁰﹣|tan60°﹣2|．

共享时间:2019-06-03 难度:2 相似度:0.5

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1144. （2020•陕西省•副题）已知抛物线L：y=-x²+bx+c过点（-3，3）和（1，-5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA=1：4，求满足条件的点P的坐标．
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共享时间:2020-07-31 难度:4 相似度:0.5

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6159. （2017•师大附中•模拟）计算：|

﹣

共享时间:2017-06-21 难度:3 相似度:0.5

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4529. （2016•交大附中•真题）计算：（3﹣π）⁰+4sin45°﹣

+|1﹣

|．

共享时间:2018-06-06 难度:3 相似度:0.5

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848. （2014•陕西省•三模）已知抛物线C：y=﹣x²+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．
（1）求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:0.5

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艺黎

2020-07-31

初中数学 | | 解答题

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2020届陕西省中考数学试卷（副卷）

更新:2020-07-31 06:38浏览量:939

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