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首页 > 试题列表 > 单题解析
1145. （2020•陕西省•副题） 问题提出
（1）如图①，等边△ABC有　　条对称轴
问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=15，等边△EFP的顶点E，F分别在BA，BC上，且BE=BF=2．连接BP并延长，与AC交于点P′，过点P′作P′E′∥PE交AB于点E′，作P′F′∥PF交BC于点F′，连接E′F′，求S△P′E′F′．
问题解决
（3）如图③，是一圆形景观区示意图，⊙O的直径为60m，等边△ABP的边AB是⊙O的弦，顶点P在⊙O内，延长AP交⊙O于点C，延长BP交⊙O于点D，连接CD．现准备在△PAB和△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，要求花卉种植面积尽可能小，求花卉种植面积（S△PAB+S△PCD）的最小值．
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共享时间:2020-07-31 难度:5
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[考点]
二次函数的性质，二次函数与面积最值问题，二次函数的应用题，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，特殊角的三角函数值，
[答案]
答案详情如下
[解析]
解：（1）等边三角形有三条对称轴，是它的三边的垂直平分线，
故答案为：3；
（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BE＝BF，
∴△BEF是等边三角形，
∴∠BFE＝60°，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠PEF＝60°＝∠BFE，
∴PE∥BC，
同理，PF∥AB，
∴四边形BFPE是平行四边形，
又∵BE＝BF，
∴▱BFPE是菱形，
∴BP'平分∠ABC，
∴∠ABP'＝∠ABC＝30°，
在Rt△ABC中，∠C＝30°，BC＝15，
∴AB＝BC＝，
在Rt△ABP'中，∠ABP'＝30°，tan30°＝，
∴AP'＝ABtan30°＝，
∵P'E'∥BC，
∴∠AP'E'＝30°，
在Rt△AP'E'中，cos30°＝，
∴P'E'＝＝5，
同理可证，△P'E'F'是等边三角形，
∴E'F'＝P'E'＝5，
如图②，E'F'与BP'的交点记作点O，

同理得，四边形BF'P'E'是菱形，
∴BP'⊥E'F'，∠OP'E＝∠E'P'F'＝30°，
∴OP'＝P'E'cos30°＝，
∴S△P′E′F′＝E'F'•OP'＝；
（3）设AB的长为x，则CP＝AC﹣x，
∵△APB是等边三角形，
∴AB＝PB＝AP，∠A＝∠B＝60°，
∴∠C＝∠B＝60°，∠D＝∠A＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴S△PAB+S△PCD＝x2+（AC﹣x）2＝（2x2﹣2CA•x+CA2），
∴当x＝＝时，S△PAB+S△PCD有最小值，
∴AB＝AP＝PC，
∴DP＝BP，
∴此时点P与点O重合，则AC是直径，
∵⊙O的直径为60m，
∴PA＝PB＝AB＝30（m），
∴S△PAB+S△PCD最小值＝450（m2）．
[点评]
本题考查了"二次函数的性质   二次函数的应用题   等边三角形的判定与性   菱形的判定与性质   特殊角的三角函数值   二次函数与面积最值问题   "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键
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61. （2020•北京市•真题） 在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x1+x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.17
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781. （2019•陕西省•副题） 在平面直角坐标系中，抛物线L经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，﹣2）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）连接AC、BC．以点D（1，2）为位似中心，画△A′B′C′，使它与△ABC位似，且相似比为2，A′、B′、C′分别是点A、B、C的对应点．试判定是否存在满足条件的点A′、B′在抛物线L上？若存在，求点A′、B′的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.17
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27857. （2023•爱知中学•九上期末） 有一种工艺品很受大家喜欢，某工厂原来有6条生产线，为了加快生产，工厂准备改造生产线，如果增加x条生产线后，每条生产线可以生产y个工艺品，经过市场调查发现：y与x满足的关系式为y=-10x+100．如果设该厂每天可以生产的工艺品w个．
（1）请写出w与x的函数关系式；
（2）请求出该工厂增加多少条生产线时，每天生产的工艺品的数量最多，最多为多少个？
共享时间:2024-01-30 难度:1 相似度:1.17
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27754. （2023•航天中学•九上二月） 德优题库如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m.
（1）按如图所示的直角坐标系，求表示该抛物线的函数表达式．
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
共享时间:2023-10-10 难度:1 相似度:1.17
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25782. （2024•高新一中•五模） 某校课外科技活动兴趣小组研制了一种航模飞机，这种航模飞机飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分．活动小组在水平安全线上设置一个高度可以变化的发射平台，当发射平台的高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到．如图所示，以水平安全线上发射平台所在位置A为坐标原点，以水平安全线为x轴，建立平面直角坐标系．
通过实验，在A处发射飞机，收集到飞机相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）与飞行高度y（单位：m）的部分对应数值如表．
飞行水平距离x/m 0 20 30 50 80 …
飞行高度y/m 0 40 54 70 64 …
根据上面的信息，解决下列问题：
（1）当活动小组在A处发射飞机时，求飞机落到水平安全线时飞行水平距离；
（2）在水平安全线上设置回收区域MN，AM=125m,MN=5m,若飞机能落到回收区域MN内（不包括端点M，N），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
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共享时间:2024-04-20 难度:4 相似度:1.17
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61342. （2023•爱知中学•九上期末） 掷实心球是中考体育考试项目之一，如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距㐫x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为1.9m,当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.5m处．
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（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于9.6m时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
共享时间:2023-03-02 难度:1 相似度:1.17
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68. （2019•永州市•真题） 如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
                                                                                                                                                   
共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1
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25627. （2023•爱知中学•二模） 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m,此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m,在水面以上的桥墩AO，BC都为2m.以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
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（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m,遮阳棚宽12m,问此船能否通过桥洞？请说明理由．
共享时间:2023-04-28 难度:2 相似度:0.83
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19854. （2021•陕西省•真题） 已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点B、C的坐标；
（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:0.73
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24638. （2022•陕西省•真题） 现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE＝10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．

 
共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:0.73
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6494. （2017•西安市•模拟） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点Q在直线BC上方的抛物线上，是否存在点Q使△BCQ的面积最大，若存在，请求出点Q坐标．
共享时间:2017-06-23 难度:4 相似度:0.73
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80. （2020•十堰市•真题） 已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:0.67
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23085. （2021•高新一中•九上期中） 求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=x2-4x-1；
（2）y=-2x2-5x+7．
共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:0.67
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23084. （2021•高新一中•九上期中） 计算：
（1）sin30°﹣cos30°+sin45°+tan60°；
（2）6tan230°﹣sin60°﹣2tan45°。
共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:0.67
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23368. （2021•交大附中•九上期中） 计算：sin230°+2sin60°-tan45°-tan60°+cos230°．
共享时间:2021-11-22 难度:3 相似度:0.67
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艺黎

2020-07-31

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