问题探究如图已知线段连接则三角形面积最大值是如图矩形对角线相交于点且求矩形面积最大值问题解决如图在四边形中对角线相交于点且若则四边形的面积是否存在最大值若存在求出最大值若不存在请说明理由

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22987. （2021•铁一中学•九上期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB=2，AC=4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB=120°．若AC+BD=10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
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[考点]

一次函数的性质，三角形的面积最值问题，勾股定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，

[答案]

（1）4；
（2）32；
（3）存在，

[解析]

解：（1）如图1，作BD⊥AC于点D，设BD＝x，

则S_△_ABC＝

AC•BD＝

×4x＝2x，
∴S_△_ABC随x的增大而增大，
∵BD≤AB，
∴当BD＝AB，即∠A＝90°，x＝2时，S_△_ABC_最大＝2×2＝4，
故答案为：4．
（2）如图2，作BE⊥AC于点E，设BE＝x，

∵四边形ABCD是矩形，且AC+BD＝16，
∴AC＝BD＝8，且OA＝OC＝

AC＝4，OB＝OD＝

BD＝4，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∵△AOB、△BOC、△COD及△AOD等底等高，
∴S_△_AOB＝S_△_BOC＝S_△_COD＝S_△_AOD＝

×4x＝2x，
由（1）可知，当BE＝OB，即∠AOB＝90°，x＝4时，S_△_AOB_最大＝2×4＝8，
∴S_矩形_ABCD_最大＝4S_△_AOB_最大＝4×8＝32，
∴矩形ABCD面积的最大值为32．
（3）存在，
如图3，作AF∥BD交CB的延长线于点F，作CE⊥AF于点E，设AC＝x，

∵∠AOB＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AOB＝60°，
∵∠AEC＝90°，
∴∠ACE＝30°，
∴AE＝

AC＝

x，
∴CE＝

＝

x，
∵AD∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AC+BD＝10，
∴AF＝BD＝10﹣x，
∵△ABD与△ABF等底等高，△DBC与△ABC等底等高，
∴S_△_ABD＝S_△_ABF，S_△_DBC＝S_△_ABC，
∴S_四边形_ABCD＝S_△_ABD+S_△_DBC＝S_△_ABF+S_△_ABC＝S_△_AFC，
∵S_△_AFC＝

AF•CE＝

x（10﹣x）＝

（x﹣5）²+

，
∴S_四边形_ABCD＝

（x﹣5）²+

，
∵

（x﹣5）²≤0，
∴

（x﹣5）²+

≤

，
∴当x＝5时，S_四边形_ABCD_最大＝

，
∴四边形ABCD面积的最大值是

．

[点评]

本题考查了"一次函数的性质,三角形的面积最值问题,勾股定理,平行四边形的判定与性质,矩形的判定与性质,四边形综合题,四边形的面积最大值问题"，属于"压轴题"，熟悉考点和题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

811. （2015•陕西省•真题）如图，在每一个四边形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．
（1）如图①，点M是四边形ABCD边AD上的一点，则△BMC的面积为　　；
（2）如图②，点N是四边形ABCD边AD上的任意一点，请你求出△BNC周长的最小值；
（3）如图③，在四边形ABCD的边AD上，是否存在一点P，使得cos∠BPC的值最小？若存在，求出此时cos∠BPC的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.14

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1087. （2020•陕西省•真题）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC．求证：AD＝BE．

共享时间:2020-07-30 难度:3 相似度:1.14

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1052. （2019•陕西省•真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）

共享时间:2019-07-05 难度:5 相似度:1.14

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882. （2013•陕西省•真题）问题探究：
（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决：
（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？如若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.14

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6520. （2017•高新一中•模拟）观察思考：如图，A、B是直线a上的两个定点，点C、D在直线b上运动（点C在点D的左侧），AB＝CD＝4cm．已知a∥b，a、b间的距离为

cm，连接AC、BD、BC，把△ABC沿BC折叠得△A₁BC．
（1）当A₁、D两点重合时，则 AC＝　　cm．
（2）当A₁、D两点不重合时，
①连接A₁D，探究A₁D与BC的位置关系，并说明理由．
②若以A₁、C、B、D为顶点的四边形是矩形，画出示意图并直接写出AC的长．

共享时间:2017-06-20 难度:5 相似度:0.81

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3145. （2018•滨河中学•真题）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　　°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

共享时间:2019-05-31 难度:5 相似度:0.79

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-11 难度:5 相似度:0.79

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6245. （2017•铁一中学•模拟）如图①，在 Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0＜α＜120°）得△DBE，连接AD，EC，直线AD、EC交于点M．
（1）当α＝30°时，∠BAD＝　　．
（2）在旋转的过程中，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图②，若△ABC中，∠ABC＝120°，其余条件不变，四边形ABCM的面积是否存在最大值？若存在，求出四边形ABCM面积的最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:5 相似度:0.69

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6044. （2017•铁一中学•模拟）小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：如图2，在AF=2，DH=5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值；
探究2：在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F₁，作F关于BC的对称点F₂，作F₁关于CD的对称点F₃，连接F₂F₃交CD于H，交BC于点G，连接F₁H交AD于E，连接EF、FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值，若不存在请说明理由．
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共享时间:2017-05-30 难度:5 相似度:0.69

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473. （2017•陕西省•副题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，∠ABC的角平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若DE＝

AC，求∠ACB的大小．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.64

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2895. （2019•益新中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.64

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6345. （2017•师大附中•模拟）（1）如图①，已知BD为矩形ABCD的对角线，请作出点A到BD最短距离．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，矩形EMQG为△ABC的一个内接矩形，EG交DB于点F，过点F作AN⊥BC于点N，延长GE交DC于点P，则四边形PCNF的面积与四边形EMQG的面积有什么关系？请说明理由．
（3）如图③，在△ABC，AC=4，BC=6，∠ACB=30°，矩形EMQG是△ABC的一个内接矩形（点M、Q在边BC上，点E、G分别在边AC、AB上）．请在图③中画出对角线MG最短的矩形EMQG，请说明理由，并求出此时MG的长．
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共享时间:2017-06-08 难度:5 相似度:0.62

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6320. （2017•西工大附中•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-06-26 难度:5 相似度:0.58

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19061. （2016•交大附中•模拟）如图，四边形ABDC内接于⊙O，AB＝AC，且AB∥CD、过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）若AE＝12，CD＝10，求⊙O半径的长．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:0.58

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6069. （2017•铁一中学•模拟）问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　　；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．

共享时间:2017-05-28 难度:5 相似度:0.54

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tyz510

2021-11-15

初中数学 | 九年级上 | 解答题

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2021-2022学年陕西省西安市铁一中学九上数学期中试卷

更新:2021-11-15 02:44浏览量:1123

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