小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题如图在矩形中分别在矩形的边上则四边形的周长是否存在最小值她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究请你帮助她完成下面的探究过程探究如图在的条件下请在图中画出周长最小的四边形并求出周长的最小值探究在探究的启发下小敏画出了图作关于的对称点作关于的对称点作关于的对称点连接

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6044. （2017•铁一中学•模拟）小敏在研究最值问题时遇到了这样的一个问题：如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AD、AB、BC、CD上，则四边形EFGH的周长是否存在最小值？她决定按照老师讲的由特殊到一般逐步化归的思路去研究，请你帮助她完成下面的探究过程．
探究1：如图2，在AF=2，DH=5的条件下，请在图2中画出周长最小的四边形EFGH，并求出周长的最小值；
探究2：在探究1的启发下，小敏画出了图3：作F关于AD的对称点F₁，作F关于BC的对称点F₂，作F₁关于CD的对称点F₃，连接F₂F₃交CD于H，交BC于点G，连接F₁H交AD于E，连接EF、FG，借助图3，他发现四边形EFGH的周长有最小值，并顺利解决了遇到的这个问题．请求出四边形EFGH的周长的最小值．
拓广探究：解决了上述问题后，小敏又想到了新的问题，当四边形EFGH的周长最小时，四边形EFGH的面积是否存在最大值？请帮助小敏解决这个问题，若存在，请求出此时面积的最大值，若不存在请说明理由．
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共享时间:2017-05-30 难度:5

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[考点]

二次函数与面积最值问题，勾股定理，四边形综合题，轴对称的性质，将军饮马问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：探究1：如图1中，作F关于AD的对称点F′，F关于BC的对称点F″，连接HF′交AD于E，连接HF″交BC于G，作HM⊥AB于M．

此时四边形EFGH的周长最小，最小值＝EF+EH+GF+GH＝EF′+EH+HG+GF″＝HF′+HF″，
在Rt△HMF′中，HF′＝

＝

，
在Rt△HMF″中，HF″＝

＝

，
∴四边形EFGH的周长的最小值为

；

探究2：

由题意可知四边形EFGH的周长的最小值＝HF₁+HF₂，
易知HF₁是Rt△F₁F₂F₃的斜边的中线，
∴HF₁＝HF₂＝HF₃，
在Rt△F₁F₂F₃中，F₁F₂＝16，F₁F₃＝12，
∴F₂F₃＝

＝20，
∴四边形EFGH的周长的最小值为20．

拓广探究：存在．理由如下：
如图3中，

当四边形EFGH的周长最小时，
由探究2知，HF₁＝HF₂＝HF₃，
∴∠F₃＝∠2，
由对称知，∠3＝∠F₃，
∴∠2＝∠3，
∴FG∥EH，
同理：EF∥HG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
易知：CH：CG：GH＝3：4：5，设HC＝3x，GC＝4x，GH＝5x，
则DH＝6﹣3x，BG＝8﹣4x，DE＝

（6﹣3x），AE＝8﹣

（6﹣3x），BF＝

（8﹣4x），AF＝6﹣

（8﹣4x），
∴S_{四边形EFGH}＝6×8﹣

•3x•4x﹣

•（6﹣3x）•

（6﹣3x）﹣

•[8﹣

（6﹣3x）]•[6﹣

（8﹣4x）]﹣

•（8﹣4x）•

（8﹣4x）
＝﹣24x²+48x，
＝﹣24（x﹣1）²+24，
∵﹣24＜0，
∴x＝1时，四边形EFGH的面积最大，最大值为24．

[点评]

本题考查了"勾股定理四边形综合题轴对称的性质将军饮马问题二次函数与面积最值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

181469. （2024•铁一中学•七下二月）【初步探究】
（1）如图1，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD、CE．
①由题中条件判断BD与CE的数量关系：BD CE；
②BD与EC是否存在特殊的位置关系？请你证明．
【灵活运用】
（2）将△ADE绕点A旋转至如图2所示位置，连接BD、CE．在（1）中的结论下，若AB=3，AE=5，四边形BCDE的面积存在最大值吗？若存在，求出这个值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2024-06-19 难度:1 相似度:1.2

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179882. （2024•爱知中学•七下期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题．
数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化．
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观察上面拼图过程，计算图形面积写出相应等式
（2）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，BD=a,翻折△DEC，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时BD=b,计算梯形ABDE的面积S（S用含a,b的代数式表示）
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（3）如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形．ABDE中∠ABC=90°，△ABC≌△CDE，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为25πa,△ABC中草坪铺设面积为24a,假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现AC²与AB²，BC²间存在某种数量关系，请计算AC²，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.2

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179906. （2024•爱知中学•八下期中）综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：
（1）如图1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接AA′，则∠AA′B′＝　　．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC边上，BD＝2，CE＝3，且∠DAE＝45°，请你求出DE的长度．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝6，CD＝10，CF＝5，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，求线段BE的长．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.2

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179951. （2024•陆港中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10．
（1）求AE的长；
（2）求DE的长．

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:1.2

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179977. （2024•航天中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE，若AD=2，BD=5，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）为了开展劳动实践教育，培养科学素养，实现多维学科融合．某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC，经测量：∠ABC=90°，AB=BC，∠BDC=45°．连接AD，将基地分成两部分种植不同的植物，若△ACD的面积为8平方米，则线段CD的长度为多少？
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.2

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180248. （2023•航天中学•八上二月）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC边上的动点，连接EG，HF相交于点P．且∠EPH＝∠A．
①填空：

＝　　．
②如图2，当四边形ABCD为长方形，AB＝4，BC＝6时，求

的值．
（2）如图3，这是某城市中央公园的设计示意图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝0.8km，AD＝1km．公园设计师计划在公园内修建两条观光小路EG，FH（小路宽度不计，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC边上），根据实际需要，∠EPH＝∠A．若先修好的观光小路EG长为1.1km，则另一条观光小路FH多长？

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.2

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180297. （2023•逸翠园中学•八上二月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:1.2

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181134. （2024•爱知中学•月考）问题提出：
（1）如图1，在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球．已知球到灯和到地面的距离相等，且球的直径是40cm即AB＝40cm，则这个球在地面上的影子的面积是　　．（结果保留π）
问题探究：
（2）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内，点F、G在BC边上），若AC＝4，求FG的最小值，并证明你的结论．（结果保留根号）
问题解决：
（3）某地质勘察队，为了进行资源勘测，建立了一个四边形野外勘察基地ABCD，如图3所示，现在此勘察基地铺设了两条道路，DE，AC，并使得∠AFE＝∠ADC且CA⊥BA，现测得

米，CF＝AB＝600米，

，根据工作需要在点A处安装了一个可转动的照明灯，照明灯的两边缘光线夹角不变且与BC分别交于点G、H（受实际因素影响点G、H始终在BC边上），经过测量，∠B与∠GAH恰好互余，为了尽快完成勘察工作，勘察队需要夜间工作，那么夜间工作时，整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积是多少，如果不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.2

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181160. （2023•爱知中学•月考）【问题探究】
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=4，点E、F分别为边AD、BC上的点，且AE=1，BF=2，P为边AB上一动点，连接EP、PF，则EP+PF的最小值为．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，点E、F分别在边AD和BC上，连接AC，EF⊥AC于M，求EF的长．
【问题解决】
（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图3，将一块四边形的空地ABCD改造成了供市民休闲锻炼的公园．已知：在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，tan∠CDA=2，BC=60米，AB=110米，在公园的AD边上有一个出口M，经测量MD=2MA，为了方便市民，现计划在公园的AB边和CD边上分别建一个休息亭F和E，然后铺设观景道BE、EF、FM，并且EF⊥BM，若要使这三条观景道的距离和最小（即BE+EF+FM最小），请求出休息亭F距离点A多远？并求出BE+EF+FM的最小值．（小路面积忽略不计，结果保留根号）
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共享时间:2022-12-01 难度:1 相似度:1.2

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181186. （2023•爱知中学•九上四月）（1）如图1，∠ABC＝90°，分别过A，C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为E、F，AE＝4，BE＝2，BF＝3，求CF的长度为　　．
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，点E、F、M分别在AB、BC、AD上，∠EMF＝90°，AM＝2，当BE+BF＝9时，求四边形MEBF的面积．
（3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝20，点E、F分别在边AB、BC上，∠CEF＝α且

，若BF＝8，求BE的长度．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.2

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181324. （2024•未央区•七下二月）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，已知BC=6，P为边BC上一动点，S_△ABC=6，则AP的最小值为．
问题探究
（2）小哲同学喜欢探究生活中的数学问题，学习完轴对称的知识以后，他将一张正方形纸片沿着对角线对折，根据轴对称图形的定义来判断，得到结论：正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是正方形的一条对称轴．他尝试利用这一结论解决问题；如图2，正方形ABCD的边长为4，E为DC的中点，P为对角线BD上的动点，F为BC上的动点，请求出PE+PF的最小值．请你解决小哲提出的问题．
问题解决
（3）如图3，这是某公园的一块四边形市民健身场地ABCD，公园管理部门在△ACD内规划设置体育锻炼区域，在△ABC内设置合唱团训练区域，在BD处修建养生小路，要求BD尽可能的长，其中AB=10m,BC=16m,AD=AC，∠CAD=60°．已知铺设小路 BD的费用是每米1600元，请你计算铺设小路的费用最多需要花费多少钱．
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共享时间:2024-06-18 难度:1 相似度:1.2

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181373. （2024•经开一中•八下一月） $德优题库$ 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
（1）如图1，若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A=65°，∠B=80°，则∠C的度数为 °．
（2）如图2，“等对角四边形”ABCD，已知：∠ABC=∠ADC，BC=CD，你认为AB=AD成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由．
（3）在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB=60°，∠ABC=90°，AB=7，AD=5．求对角线AC的长．

共享时间:2024-04-18 难度:1 相似度:1.2

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181393. （2024•经开一校(原经发)•七下二月） $德优题库$ 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，四边形ABCD的顶点与点E都是格点．
（1）作出四边形ABCD关于直线AC对称的四边形AB′CD′；
（2）求四边形ABCD的面积；
（3）若在直线AC上有一点P，使得P到D、E的距离之和最小，请作出点P（请保留作图痕迹），且求出PC= ．

共享时间:2024-06-10 难度:1 相似度:1.2

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