问题探究在边长为的正方形中对角线交于点探究如图若点是对角线上任意一点则线段的长的取值范围是探究如图若点是内任意一点点分别是边和对角线上的两个动点则当的值在探究中的取值范围内变化时的周长是否存在最小值如果存在请求出周长的最小值若不存在请说明理由问题解决如图在边长为的正方形中点是内任意一点且点分别是边和对角线上的两个动点则当

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6069. （2017•铁一中学•模拟）问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　　；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．

共享时间:2017-05-28 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形，正方形的性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，辅助圆问题，定点径长与线段最值问题，轴对称变换作图，将军饮马问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4

，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2

，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2

≤PA≤4．
故答案为2

≤PA≤4．

（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵PA＝PE＝PF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2

，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．

（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．

由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S_{四边形AMPN}＝S_△AEM+S_△ANF＝S_△AEF﹣S_△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S_△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2

，OM＝ON＝OP＝4﹣2

，
∴MN＝8﹣4

，
∴S_△AMN＝

×（8﹣4

）•2

＝8

﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8

﹣8）＝16﹣8

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形正方形的性质四边形综合题轴对称变换作图将军饮马问题定点径长与线段最值问题辅助圆问题四边形的面积最大值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

199189. （2022•交大附中•八下期中）（1）如图1，已知锐角△ABC的边BC＝3，S_△ABC＝6，点M为△ABC内一点，过点M作MD⊥BC交BC于点D，连接AM，则AM+MD的最小值为　　．
（2）如图2，点P是正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝

，PC＝4．求∠APB的度数．
（3）如图3，在长方形ABCD中，其中AB＝600，AD＝800，点P是长方形内一动点，且S_△PAD＝2S_△PBC，点Q为△ADP内的任意﹣点，是否存在一点P和一点Q．使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长度，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-05-14 难度:1 相似度:1.13

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190087. （2025•西咸新区•八上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-2），B（-3，3），C（2，4）．
（1）在图中画出△ABC关于x轴对称的△DEF（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）；
（2）在（1）的条件下，写出点D，E，F的坐标．

共享时间:2025-02-08 难度:5 相似度:1.13

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185374. （2024•高新一中•七下期中）已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直线l经过点A，作BD⊥l于D，CE⊥l于E．
$德优题库$
（1）当直线l在∠BAC外部时（图（a）），求证：BD+CE=DE；
（2）当直线l在∠BAC内部时（图（b）），猜想线段BD，CE与DE之间又有怎样的关系．证明你的结论；
（3）在（2）的条件下，连接BE，若BD=6，CE=4，求四边形ABEC的面积．

共享时间:2024-05-18 难度:1 相似度:1.13

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185399. （2024•高新一中•八下期中）我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，在BC上任取一点D（BC除外），连接AD，我们把△ABD绕点A逆时针旋转60°，则AB与AC重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形ADCE （选择是或不是）等补四边形．
（2）如图2，等补四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠ADC=90°，若S_{四边形ABCD}=32，求BD的长．
（3）如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=100米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC，CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，∠DAF=15°，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路EF的长．
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共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.13

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185418. （2023•爱知中学•八上期中）如图，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（﹣2，4），点B的坐标为（﹣3，1），按要求解答下列问题：
（1）请在如图所示的网格中作出平面直角坐标系；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（3）求△A₁B₁C₁的面积．

共享时间:2023-11-17 难度:5 相似度:1.13

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185423. （2023•爱知中学•八上期中）在Rt△DEF中，DE＝DF，∠EDF＝90°，点E，D分别在长方形ABCO的边BC，CO上．

（1）如图1，当点F在OA上，且CE＝3，OF＝1时，则EF＝　；
（2）如图2，若EC＝CO，点D为线段CO上一动点（不包括端点），连接OF，求∠AOF的度数；
（3）如图3，若矩形ABCO中，OA＝5，OC＝4，在（2）的基础上，当BF取值最小时，求点D的坐标．

共享时间:2023-11-17 难度:1 相似度:1.13

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185544. （2023•高新三中•八上期中）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，1）．
（1）在平面直角坐标系中，画出△ABC，并求出△ABC的面积．
（2）若△A₁B₁C₁与△ABC关于x轴对称，请在坐标系中画出△A₁B₁C，写出A₁、B₁、C₁的坐标．

共享时间:2023-11-24 难度:5 相似度:1.13

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185576. （2024•西工大附中•七下期中）发现问题
（1）已知，如图①，在四边形ABCD中，E在BC上，AE=DE，∠ABE=∠AED=∠ECD，若AB=5，BC=12，则BE= ．
探究问题
（2）如图②，已知长方形ABCD的周长为36，CD=10，点E为AD边上一点，EG⊥EF分别交AB于点G，交CD于点F，且EG=EF，求四边形BCFG的面积．
解决问题
（3）如图③，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB=13，以AB为边在其左上方作正方形ABEF，FD垂直于CA延长线于点D，连接AE，M、N分别为AE、BC上两动点，连接FM，BM，MN，当BM+MN的值最小时，求多边形EFMNB的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴）
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共享时间:2024-05-23 难度:1 相似度:1.13

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185696. （2024•交大附中•八下期中）问题提出
（1）平面中的任意两点都可以通过一次旋转变换互相得到．如图1，在平面直角坐标系中，点A绕x轴上点P旋转得到点B．请找出点P的位置；
问题发现
（2）平面中的任意两条等线段都可以通过一次旋转变换互相得到．如图2，线段OA可以绕平面内一点P作一次旋转直接到线段BC．已知点A（2，1），点B（0，4），点C（-1，6），求出P点的坐标；
问题解决
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，∠B+∠C=120°，BC=2AD=4，求ABCD的面积． $德优题库$

共享时间:2024-05-15 难度:1 相似度:1.13

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189715. （2025•师大附中•九上期末）问题探究
（1）点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使它将平行四边形ABCD的面积等分．
问题解决
（2）如图2，某公园有一空地，即五边形ABCDE．经测量，AE∥CD，AE＝40m，CD＝70m，AB＝BC＝50m，∠BAE＝∠BCD，tanD＝

，空地内部准备修建一条笔直的小路MN和一座凉亭P，点M在边AE上，点N在边CD上，小路MN经过凉亭P且恰好平分空地ABCDE的面积，满足∠BPN＝45°，点E为公园的入口处，请问凉亭P到公园入口E的距离是否存在最小值，若存在，求出PE的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.13

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189865. （2025•高新一中•八上期末）问题探索：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB中点，点E，F分别在边BC，AC上且∠EDF=90°，则DE与DF的数量关系是；
问题解决：
（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃ABCD，满足AB=80m,BC=20m,∠ABC=120°，∠ADC=60°，花圃内铺设了一条小路BD，BD平分∠ABC，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道DE与小路BD相连，且DE⊥BD，入口点E恰好在BA的延长线上．解答下列问题：
①求证：AD=CD；
②求入口到点A的距离AE的长．
$德优题库$

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.13

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189987. （2025•新城区•八上期末） $德优题库$ 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（4，1）．
（1）在图中描点并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（3）在该坐标系中与点B关于x轴对称的点B′的坐标为．

共享时间:2025-02-13 难度:5 相似度:1.13

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190064. （2025•西咸新区•九上期末） $德优题库$ 如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠D，点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，连接CF、CE，DA与CE的延长线交于点G．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．

共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:1.13

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190142. （2025•莲湖区•九上期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠FCB＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）连接BF，若

，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求矩形AECF的面积．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.13

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185129. （2025•铁一中学•八下期中）（1）阅读材料：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，∠ABC=30°，△ACE是等边三角形，M为△ABC内任意一点，连接CM，将CM绕点C逆时针旋转60°得到CN，连接EN、AM、BM．
①△CMN的形状是；
②AM+BM+CM是否存在最小值，若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；
（2）如图②，城市规划部门准备在一块边长40米的正方形空地ABCD建设口袋公园，四个顶点A、B、C、D为公园入口，公园内有两个凉亭E、F，为方便市民散步，需修建健身步道连接AE、BE、EF、DF、CF．为节约建设成本，应将E、F修建在何处可使修建步道之和最短？最短距离为多少？
$德优题库$

共享时间:2025-05-10 难度:1 相似度:1.13

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tyz510

2017-05-28

初中数学 | | 解答题

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