问题探究在边长为的正方形中对角线交于点探究如图若点是对角线上任意一点则线段的长的取值范围是探究如图若点是内任意一点点分别是边和对角线上的两个动点则当的值在探究中的取值范围内变化时的周长是否存在最小值如果存在请求出周长的最小值若不存在请说明理由问题解决如图在边长为的正方形中点是内任意一点且点分别是边和对角线上的两个动点则当

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6069. （2017•铁一中学•模拟）问题探究：在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．
探究1：如图1，若点P是对角线BD上任意一点，则线段AP的长的取值范围是　　；
探究2：如图2，若点P是△ABC内任意一点，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当AP的值在探究1中的取值范围内变化时，△PMN的周长是否存在最小值？如果存在，请求出△PMN周长的最小值，若不存在，请说明理由；
问题解决：如图3，在边长为4的正方形ABCD中，点P是△ABC内任意一点，且AP＝4，点M、N分别是AB边和对角线AC上的两个动点，则当△PMN的周长取到最小值时，求四边形AMPN面积的最大值．

共享时间:2017-05-28 难度:5

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[考点]

等腰直角三角形，正方形的性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，辅助圆问题，定点径长与线段最值问题，轴对称变换作图，将军饮马问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴AC⊥BD，AC＝BD＝4

，
∴当P与O重合时，PA的值最小，最小值＝2

，
当P与B或D重合时，PA的值最大，最大值为4，
∴2

≤PA≤4．
故答案为2

≤PA≤4．

（2）存在．
理由：如图2中，作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接EF交AB于M，交AC于N，连接AE、AF、PA．

∵PM+MN+PN＝EM+MN+NF＝EF，
∴点P位置确定时，此时△PMN的周长最小，最小值为线段EF的长，
∵∠PAM＝∠EAM，∠PAN＝∠FAN，∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，
∵PA＝PE＝PF，
∴△EAF是等腰直角三角形，
∵PA的最小值为2

，
∴线段EF的最小值为4，
∴△PMN的周长的最小值为4．

（3）如图3中，在图2的基础上，以A为圆心，AB为半径作⊙A，PA交EF于点O．

由题意点P在⊙A上，
∵△MAP≌△MAE，△NAP≌△NAF，
∴S_{四边形AMPN}＝S_△AEM+S_△ANF＝S_△AEF﹣S_△AMN，
∵PA＝AE＝AF＝4，
∴S_△EAF＝8，
∴△AMN的面积最小时，四边形AMPN的面积最大，
易知当PA⊥MN时，△AMN的面积最小，此时OA＝2

，OM＝ON＝OP＝4﹣2

，
∴MN＝8﹣4

，
∴S_△AMN＝

×（8﹣4

）•2

＝8

﹣8，
∴四边形AMPN的面积的最大值＝8﹣（8

﹣8）＝16﹣8

．

[点评]

本题考查了"等腰直角三角形正方形的性质四边形综合题轴对称变换作图将军饮马问题定点径长与线段最值问题辅助圆问题四边形的面积最大值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

212524. （2025•西工大附中•一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,AC长为15cm,垂足为E，则四边形ABCD的面积为 cm²．
（2）如图2，矩形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm,EF∥AD，点G，H分别是BC，AD上任一点，求四边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm,四边形ABCD的面积为24cm²，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米．
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共享时间:2025-03-05 难度:1 相似度:1.13

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196105. （2025•西安八十三中•八上期末） $德优题库$ 如图，△ABC在平面直角坐标系中三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（4，3），C（2，2）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A₂B₂C₂；
（3）若点D在该平面直角坐标系的x轴上，位于原点左侧，距离原点3个单位长度，则点D的坐标为．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:1.13

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191866. （2024•经开一校(原经发)•八下一月）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
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共享时间:2024-04-13 难度:1 相似度:1.13

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192095. （2024•沣东中学•八下一月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1．△ABC的顶点坐标分别为A（1，-3），B（4，-1），C（2，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁；
（2）将点A先向上平移3个单位长度，再向左平移5个单位长度得到点A₂，则点A₂的坐标为；
（3）△ABC的面积为；

共享时间:2024-04-26 难度:5 相似度:1.13

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192152. （2024•高新一中•八下一月）【问题出示】
（1）如图①，等腰△ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16，点M是直线AC上的动点，线段BM的最小值是．
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【问题探究】
（2）如图②，线段BM最短时，在（1）的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边BN、BM上运动，连接MP、QP，MP+QP的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段BM最短时，在（1）的条件下，点E在边CM上运动，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接MF，求线段MF的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距离至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形ABCD各边长都为90米，且两组对边分别平行，∠B=120°，DE长30米，AB边上任意一点F，计划在线段EF、FG、DG上修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=FG，且∠EFG=60°．小区最南边一排（即线段AD处）楼高70米，当线段DG取最小值时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．

共享时间:2024-04-21 难度:1 相似度:1.13

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192228. （2024•高新三中•八下二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为；
问题探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠B=60°，点Q在BC上，CQ=12，点P在AB上，AP=4，连接PQ，E、F分别为AC、PQ的中点，求EF的长度？
问题解决：
（3）西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪ABCD内对角线AC右侧修建一个三角形池塘△CMN．如图3，∠BAC=64°，∠MCN=26°，∠MNC=90°，A为草坪入口，B为草坪出口，在人行道AM的中点E处有一个凉亭，在池塘N处是一个观景台．游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
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共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.13

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192301. （2023•高新一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-10-28 难度:1 相似度:1.13

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192372. （2024•西工大附中•七下二月）问题提出
（1）如图①，四边形ABCD中，E在CD边上，AD=AE、AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，连结BE交AC于点P，若∠BPC=75°；则∠BCD= ．
问题探究
（2）如图②，已知等边三角形ABC，AB=8，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=9，求四边形APBC的周长．
问题解决
（3）某市园林绿化部门为提升城市形象，绿化美化环境，拟在富样路一拆迁后的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为四边形ABCD，如图③所示．其中AB∥CD，∠C=90°，BC=CD，AD段临街道有足够长度，E是小道AB上某小区的入口（点E不在点B处），且AE=200米，设计人员准备将公园分成△ADE，△BDE与△BCD三大部分，F是△ADE内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠AEF=∠DAF=45°，AF⊥DF，△ADE内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约5元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需28000元，△BCD内部种植月季等花卉，平均每平方米约需8元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
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192605. （2024•翱翔中学•七下一月）发现问题：
（1）如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH OH；PQ QH．（填=，＞，＜）；
探究问题：
（2）如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
（3）如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km,点E为AB上一个休息驿站，BE=3km,F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
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共享时间:2024-04-25 难度:1 相似度:1.13

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193010. （2023•西安二十三中•九上二月）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S_矩形AEFG：S_▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.13

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195820. （2025•阎良区•八上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，4），C（3，3）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴对称的图形△DEF；（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）
（2）在（1）的条件下，直接写出点D的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.13

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195879. （2025•曲江一中•九上期末） $德优题库$
问题提出
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=30°，AB=8，E是AB的中点，点F在AD上且AF=5，求五边形BCDFE的面积．
问题解决
（2）为了优化美化人居生态环境．如图2所示，某城市现规划建一个五边形公园，记为五边形ABCDE．按设计要求，要在公园内挖一个四边形人工湖记为四边形ONMP，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠C=150°，∠B=30°，AB=BC=800m,AE=700m,CD=600m,为了安全起见，AM＜AE，PD＜CD．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．是否存在符合设计要求的面积最小的四边形ONMP？若存在，求出面积最小值及这时AN的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-13 难度:1 相似度:1.13

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195899. （2025•曲江一中•八上期末） $德优题库$ 如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（-4，4），B（-2，0），C（-1，2）．
（1）请画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁．
（2）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标．

共享时间:2025-02-23 难度:5 相似度:1.13

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196034. （2025•鄠邑区•九上期末）【提出问题】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，点D不重合），求出四边形OECF的面积；
【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园ABCD，AC，BD为人行步道，且交于点O．要在菜园的下方建一四边形储藏间OECF，已知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC＝∠EOF＝60°．若四边形储藏间OECF的占地面积为

（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园ABCD围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？

共享时间:2025-02-28 难度:1 相似度:1.13

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196051. （2025•理工大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，2）．请画出与△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁的坐标．

共享时间:2025-02-04 难度:5 相似度:1.13

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tyz510

2017-05-28

初中数学 | | 解答题

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