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6320. (2017•西工大附中•模拟) 问题发现.
(1)如图①,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点DAB边上任意一点,则CD的最小值为   
(2)如图②,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点M、点N分别在BDBC上,求CM+MN的最小值.
(3)如图③,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点EAB边上一点,且AE=2,点FBC边上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AGCG,四边形AGCD的面积是否存在最小值,若存在,求这个最小值及此时BF的长度.若不存在,请说明理由.
共享时间:2017-06-26 难度:5
[考点]
三线合一定理,直角三角形斜边上的中线,相似三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,四边形综合题,定点径长与线段最值问题,将军饮马问题,
[答案]
答案详见解析
[解析]
解:(1)如图①,过点CCDABD,根据点到直线的距离垂线段最小,此时CD最小,

在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,根据勾股定理得,AB=5,
AC×BCAB×CD
CD
故答案为

(2)如图②,作出点C关于BD的对称点E
过点EENBCN,交BDM,连接CM,此时CM+MNEN最小;

∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BCD=90°,CDAB=3,根据勾股定理得,BD=5,
CEBD
BD×CFBC×CD
CF
由对称得,CE=2CF
在Rt△BCF中,cos∠BCF
∴sin∠BCF
在Rt△CEN中,ENCEsin∠BCE
即:CM+MN的最小值为

(3)四边形AGCD的面积存在最小值,最小值为,此时BF的长度为3.
理由:如图3,

∵四边形ABCD是矩形,
CDAB=3,ADBC=4,∠ABC=∠D=90°,根据勾股定理得,AC=5,
AB=3,AE=2,
∴点FBC上的任何位置时,点G始终在AC的下方,
设点GAC的距离为h
S四边形AGCDSACD+SACGAD×CD+AC×h×4×3+×5×hh+6,
∴要四边形AGCD的面积最小,即:h最小,
∵点G是以点E为圆心,BE=1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点,
EGAC时,h最小,
由折叠知∠EGF=∠ABC=90°,
延长EGACH,则EHAC
在Rt△ABC中,sin∠BAC
在Rt△AEH中,AE=2,sin∠BAC
EHAE
hEHEG﹣1=
S四边形AGCD最小h+6=×+6=
过点FFMACM
EHFGEHAC
∴四边形FGHM是矩形,
FMGH
∵∠FCM=∠ACB,∠CMFCBA=90°,
∴△CMF∽△CBA


CF=1
BFBCCF=4﹣1=3.
即四边形AGCD的面积是最小值为,此时BF的长度为3.
[点评]
本题考查了"直角三角形斜边上的中   矩形的判定与性质   四边形综合题   将军饮马问题   相似三角形的判定与性   三线合一定理   定点径长与线段最值问题   ",属于"压轴题",熟悉题型是解题的关键
转载声明:
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考点说明
灰色代表去掉的考点,绿色代表未变动的考点,红色代表新增的考点
23874. (2021•益新中学•九上期末) 问题提出:如图,在锐角△ABC中,如何作一个正方形DEFG,使D,E落在BC边上,F,G分别落在AC,AB边上?
勤奋小组同学给出了如下作法:①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK;②连接BJ,并延长交AC于点F;③过点F作EF⊥BC于点E;④过F作FG∥BC,交AB于点G;⑤过点G作GD⊥BC于点D,则四边形DEFG即为所求作的正方形.
受勤奋小组同学的启发,创新小组同学认为可以在锐角△ABC中,作出长与宽的比为2:1的矩形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.
(1)你认为勤奋小组同学的作法正确吗?请说明理由;
(2)请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中,作出所有满足长与宽的比为2:1的矩形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上.(在备用图中完成,不写作法,保留作图痕迹)
解决问题:
(3)在(2)的条件下,已知△ABC的面积为36,BC=12,求出矩形DEFG的面积.德优题库
共享时间:2021-02-07 难度:5 相似度:1.18
256672. (2025•陕西省•真题) 问题探究
(1)如图①,在△ABC中,请画出一个▱BDEF,使得点D,E,F分别在边AB,AC,BC上;
(2)如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,P为矩形ABCD内一点,且满足S△BPC=9,△BPC周长的最小值;
问题解决
(3)为了进一步提升游客的体验感,某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台.如图③所示,△ABC区域为草地,线段BC为花海边沿,点A为游客服务中心,线段PQ为步道,点P和点Q为步道口,点O为观景台.按照设计要求,点P,Q分别在边AB,AC上,且满足BP:AQ=2:3,O为PQ的中点,为保证观赏花海的最佳效果,还需使∠BOC最大.已知AB=120m,AC=BC=180m,请你帮助公园管理部门确定观景台的位置(在图中画出符合条件的点),并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离PA.(步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计)
德优题库
共享时间:2025-07-05 难度:4 相似度:1.18
291550. (2025•师大附中•九上期中) 问题提出:
(1)如图①,已知四边形ABCD,请在四边形ABCD内找一点O
问题探究:
(2)如图②,在Rt△ABC中,∠C=90°CD=1,求证:∠B=∠CAD
问题解决:
(3)如图③,在四边形ABCD中,AD=12,,∠ADC=90°,∠BCD=75°.在矩形DEFG中,的最小值.(结果保留根号)

共享时间:2025-11-25 难度:4 相似度:1.18
291775. (2018•西工大附中•四模) 如图1,在四边形ABCD中,如果对角线ACBD相等
问题提出
(1)在“平行四边形、矩形、菱形“中,一定是“和谐四边形”的是        (填写图形名称);若“和谐四边形”ABCD的中点四边形MNPQ是正方形,那么对角线ACBD还需要满足的条件是          
问题探究
(2)如图2,已知△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,请你在图中找一点D,且使四边形ABCD是“和谐四边形”,并求四边形ABCD的面积;
问题解决
(3)如图3,已知四边形ABCD中,AB=4,∠ABC=90°,F是边AB的中点,满足FG,连接BG,若四边形ABED是“和谐四边形”,求四边形ABED面积的最大值
共享时间:2018-04-27 难度:1 相似度:1.14
212398. (2025•交大附中•一模) 数学兴趣小组接到一项任务,需要让他们在一个矩形板材上裁剪出一个符合要求的四边形部件,任务具体如下:
【任务一】在如图的矩形板材ABCD中,AB=40cm,AD=80cm,取AD边上一点E,ED=30cm,请你帮数学兴趣小组在BC边上找一点F,连接EF,使得线段EF平分矩形ABCD的面积,则线段EF的长为        cm.
【任务二】在完成任务一后,取线段EF的中点O,点M和点N是线段EF上两点,且OM=ON=10cm(M在O点上方,N在O点下方),要求兴趣小组在线段BC上找一点P,连接PM和PN,使得∠MPN角度最大,请帮兴趣小组计算,当∠MPN角度最大时,sin∠MPN的值.
【任务三】在任务二的结论下,线段EF的左侧是否存在点Q,连接QM和QN,使得∠MQN=∠MPN,且满足四边形QNPM的面积最大,若存在,求出四边形QNPM的面积最大值;若不存在,请说明理由.
德优题库
共享时间:2025-03-13 难度:1 相似度:1.14
284271. (2023•铁一中学•四模) 德优题库如图,AB为⊙O的直径,AC是⊙O的切线,且AC=AB,连接CB交⊙O于点D,E为AC的中点,连接BE交⊙O于点F,连接AD,CF,DF,AF.
(1)求证:CE2=EF•EB;
(2)若DF=1,求AF的长.
共享时间:2023-04-24 难度:1 相似度:1.14
284325. (2023•铁一中学•二模) 现有一块矩形板材ABCD,AB=4,AD=6,点E为边BC上一点,连接AE,过点E在矩形板材上作EF⊥AE,且EF=AE.
(1)如图1,若点F恰好落在边CD上,则线段CF的长为        
(2)如图2,连接CF,求线段CF长度的最小值;
(3)如图3,连接DF,工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD?若能,请求出四边形AEFD面积的最小值;若不能,请说明理由.
德优题库
共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.14
284789. (2022•高新一中•八模) 如图,在矩形ABCD中,AB=3cmADcm.动点P在边AB上从点A向点B运动,速度为1cm/s;过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q,且∠PQD=60°,连接PDBD.设点P的运动时间为xs),△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为ycm2).
(1)当x      s时,点Q与点C重合;
(2)①求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②在点P的运动过程中,是否存在y的最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2022-06-11 难度:1 相似度:1.14
285895. (2022•交大附中•一模) (1)如图①,点A、点B在直线l同侧,请你在直线l上找一点P,使得AP+BP的值最小;(不需要说明理由)
(2)如图②,∠AOB=60°,点P为∠AOB内一定点,OP=5,点EF分别在OAOB上,△PEF的周长是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由;
(3)如图③,已知四边形OABC中,∠A=∠C=90°,∠B=150°,BC=2,OC,点HOA边上的一点且OH=4,点PF分别在边ABOC上运动,点E在线段OH上运动,连接EFEPPF,△EFP的周长是否存在最小值?若存在,请求出△EFP周长最小值和此时OE的长,若不存在,请说明理由.

 
共享时间:2022-03-13 难度:1 相似度:1.14
287303. (2020•师大附中•九模) 问题提出
(1)如图①,点A在直线m上,点P在直线m外,请用尺规在直线m上找一点B,使得∠APB=60°(只作出满足条件一个图形即可);
(2)如图②,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,AD=CD,对角线BD=10,求四边形ABCD的面积.
问题解决
(3)如图③,园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN,其中OA平分∠BOC,OA=100米,∠BOC=120°,点M、N分别在射线OB和OC上,且∠MAN=90°,为了尽可能的少破坏草坪,要使游乐场OMAN面积最小.你认为园林规划局的想法能实现吗?若能,请求出游乐场OMAN面积的最小值;若不能,请说明理由.
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共享时间:2020-06-15 难度:1 相似度:1.14
288081. (2018•爱知中学•二模) 知识运用:
(1)如图1,已知正方形ABCD,请用直尺和圆规作以BC为边的等边三角形BCP,使得点P在正方形ABCD的内部(保留作图痕迹);
知识探究:
(2)如图2,小明画出了图1的正方形ABCD和等边三角形PBC.他发现,在正方形ABCD中把△PBC经过图形变化(旋转后放大),可以得到图2中的更大的等边三角形.请你通过合理的图形变化,在图3的正方形纸片中画出面积最大的等边三角形BEF(点E、F不能在正方形外),当图3正方形ABCD的边长为1时,求等边三角形BEF的最大边长.
知识应用:
(3)某单位现有一块建筑用地,其形状为Rt△ABC(如图3),其中∠A=90°,AC=3,AB=4.因工作需要,单位要求承建方将此三角形ABC用地扩建成一个正方形用地(周围有足够的用地),要求原来位于A、B、C三个顶点的三棵树在正方形的内部或边上.为了节省费用,建筑方想让这个正方形尽可能的小,请你在图中画出扩建后满足条件的面积最小的正方形,并求出该正方形的最小面积.
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共享时间:2018-03-21 难度:1 相似度:1.14
291453. (2020•铁一中学•四模) 如果一个三角形的三个顶点都落在一个矩形的边上(含顶点).则称这个三角形为矩形的内接三角形.
问题发现(1)如图1,等边△AEF内接于正方形ABCD,若AE=2,则正方形ABCD的面积为       
探索问题(2)如图2.若等边△AEF内接于正方形ABCD,试证明△ABE和△ADF的面积之和等于△CEF的面积;
拓展应用(3)如图3.若等边△AEF内接于矩形ABCD(AB<AD).请问(2)中的结论是否成立?如果不成立,请举出反例;如果成立,请说明理由.
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共享时间:2020-04-28 难度:1 相似度:1.14
196609. (2024•西工大附中•七下期末) 德优题库甲、乙两个工程组同时挖掘某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务,甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了        天,甲组挖掘的总长度是        m;
(2)求乙组停工后y关于x的关系式.​
共享时间:2024-07-17 难度:1 相似度:1.14
811. (2015•陕西省•真题) 如图,在每一个四边形ABCD中,均有AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.
(1)如图①,点M是四边形ABCD边AD上的一点,则△BMC的面积为      
(2)如图②,点N是四边形ABCD边AD上的任意一点,请你求出△BNC周长的最小值;
(3)如图③,在四边形ABCD的边AD上,是否存在一点P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此时cos∠BPC的值;若不存在,请说明理由.
共享时间:2015-08-18 难度:5 相似度:1.14
244330. (2023•曲江一中•九上期末) 在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APEAPE按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.

(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BPCE的数量关系是           BCCE的位置关系是           
(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在直线BD上时,其他条件不变,连接BE,若AB=2,BE,请直接写出△APE的面积.

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.14

xgd513

2017-06-26

初中数学 | | 解答题

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