问题发现如图中点是边上任意一点则的最小值为如图矩形中点点分别在上求的最小值如图矩形中点是边上一点且点是边上的任意一点把沿翻折点的对应点为连接四边形的面积是否存在最小值若存在求这个最小值及此时的长度若不存在请说明理由

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6320. （2017•西工大附中•模拟）问题发现．
（1）如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是AB边上任意一点，则CD的最小值为　　．
（2）如图②，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小值．
（3）如图③，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时BF的长度．若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-06-26 难度:5

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[考点]

三线合一定理，直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，四边形综合题，定点径长与线段最值问题，将军饮马问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图①，过点C作CD⊥AB于D，根据点到直线的距离垂线段最小，此时CD最小，

在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AB＝5，
∵

AC×BC＝

AB×CD，
∴CD＝

＝

，
故答案为

；

（2）如图②，作出点C关于BD的对称点E，
过点E作EN⊥BC于N，交BD于M，连接CM，此时CM+MN＝EN最小；

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，
∵CE⊥BD，
∴

BD×CF＝

BC×CD，
∴CF＝

＝

，
由对称得，CE＝2CF＝

，
在Rt△BCF中，cos∠BCF＝

＝

，
∴sin∠BCF＝

，
在Rt△CEN中，EN＝CEsin∠BCE＝

＝

；
即：CM+MN的最小值为

；

（3）四边形AGCD的面积存在最小值，最小值为

，此时BF的长度为3．
理由：如图3，

∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，
∵AB＝3，AE＝2，
∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，
设点G到AC的距离为h，
∵S_{四边形AGCD}＝S_△ACD+S_△ACG＝

AD×CD+

AC×h＝

×4×3+

×5×h＝

h+6，
∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，
∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，
∴EG⊥AC时，h最小，
由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，
延长EG交AC于H，则EH⊥AC，
在Rt△ABC中，sin∠BAC＝

＝

，
在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝

＝

，
∴EH＝

AE＝

，
∴h＝EH﹣EG＝

﹣1＝

，
∴S_{四边形AGCD最小}＝

h+6＝

+6＝

，
过点F作FM⊥AC于M，
∵EH⊥FG，EH⊥AC，
∴四边形FGHM是矩形，
∴FM＝GH＝

∵∠FCM＝∠ACB，∠CMF＝CBA＝90°，
∴△CMF∽△CBA，
∴

，
∴

，
∴CF＝1
∴BF＝BC﹣CF＝4﹣1＝3．
即四边形AGCD的面积是最小值为

，此时BF的长度为3．

[点评]

本题考查了"直角三角形斜边上的中矩形的判定与性质四边形综合题将军饮马问题相似三角形的判定与性三线合一定理定点径长与线段最值问题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

191890. （2023•经开二校•九上二月） $德优题库$ 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，BD⊥DC，且BD²=AD•BC，
点M是边BC的中点．
（1）求证：AD∥BC；
（2）作BE⊥DM，垂足为点E，并交CD于点F．求证：2AD•DM=DF•DC．

共享时间:2023-12-12 难度:2 相似度:1.29

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23874. （2020•益新中学•九上期末）问题提出：如图，在锐角△ABC中，如何作一个正方形DEFG，使D，E落在BC边上，F，G分别落在AC，AB边上？
勤奋小组同学给出了如下作法：①画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形HIJK；②连接BJ，并延长交AC于点F；③过点F作EF⊥BC于点E；④过F作FG∥BC，交AB于点G；⑤过点G作GD⊥BC于点D，则四边形DEFG即为所求作的正方形．
受勤奋小组同学的启发，创新小组同学认为可以在锐角△ABC中，作出长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．
（1）你认为勤奋小组同学的作法正确吗？请说明理由；
（2）请你帮助创新小组同学在在锐角△ABC中，作出所有满足长与宽的比为2：1的矩形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（在备用图中完成，不写作法，保留作图痕迹）
解决问题：
（3）在（2）的条件下，已知△ABC的面积为36，BC=12，求出矩形DEFG的面积． $德优题库$

共享时间:2021-03-28 难度:5 相似度:1.18

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212524. （2025•西工大附中•一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,AC长为15cm,垂足为E，则四边形ABCD的面积为 cm²．
（2）如图2，矩形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm,EF∥AD，点G，H分别是BC，AD上任一点，求四边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm,四边形ABCD的面积为24cm²，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米．
$德优题库$

共享时间:2025-03-05 难度:1 相似度:1.14

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190594. （2025•交大附中•九上期末）【问题初探】
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
【应用拓展】
某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形ABCD，经测量，∠B＝30°，∠C＝60°，AB＝75m，BC＝100m，CD＝40m．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃△EMF，E、F在BC边上．为保证整体设计美观实用，要求BE＝CF＝40m，且满足∠EMF＝60°．为了给学生提供休息区域，计划在AB边上建造凉亭N和两条小路DN及NM．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭N到点B的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：

，

）

共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.14

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189715. （2025•师大附中•九上期末）问题探究
（1）点P为平行四边形ABCD内一点，请过点P画一条直线l，使它将平行四边形ABCD的面积等分．
问题解决
（2）如图2，某公园有一空地，即五边形ABCDE．经测量，AE∥CD，AE＝40m，CD＝70m，AB＝BC＝50m，∠BAE＝∠BCD，tanD＝

，空地内部准备修建一条笔直的小路MN和一座凉亭P，点M在边AE上，点N在边CD上，小路MN经过凉亭P且恰好平分空地ABCDE的面积，满足∠BPN＝45°，点E为公园的入口处，请问凉亭P到公园入口E的距离是否存在最小值，若存在，求出PE的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-15 难度:1 相似度:1.14

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189760. （2025•长安区•九上期末）如图，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D．求证：

．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.14

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189865. （2025•高新一中•八上期末）问题探索：
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D为AB中点，点E，F分别在边BC，AC上且∠EDF=90°，则DE与DF的数量关系是；
问题解决：
（2）如图2，某大学校园内有一块四边形的花圃ABCD，满足AB=80m,BC=20m,∠ABC=120°，∠ADC=60°，花圃内铺设了一条小路BD，BD平分∠ABC，为方便学生赏花，现计划修建一条径直的通道DE与小路BD相连，且DE⊥BD，入口点E恰好在BA的延长线上．解答下列问题：
①求证：AD=CD；
②求入口到点A的距离AE的长．
$德优题库$

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.14

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190064. （2025•西咸新区•九上期末） $德优题库$ 如图，已知在四边形ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠D，点E是AB边上的中点，点F为AD边上一点，连接CF、CE，DA与CE的延长线交于点G．
（1）求证：四边形ABCD为矩形；
（2）若∠1=2∠2，CF=5，求AF+BC的值．

共享时间:2025-02-08 难度:1 相似度:1.14

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190107. （2025•未央区•九上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，∠C=∠ADE，AB=3，AD=2，AC=8，求AE的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.14

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190142. （2025•莲湖区•九上期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，BE＝DF，∠FCB＝90°．
（1）求证：四边形AECF是矩形．
（2）连接BF，若

，∠ABC＝60°，BF平分∠ABC，求矩形AECF的面积．

共享时间:2025-02-27 难度:1 相似度:1.14

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190169. （2025•蓝田县•九上期末） $德优题库$ 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC边上的点，且BE⊥AF交AF于点G．
（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，求证：AE=DF；
（2）如图②，若四边形ABCD是矩形，BM平分∠ABC分别交AD、AF于点M、H，当点E为AM的三等分点，且AB=9，BC=12时，求HM的长．

共享时间:2025-02-01 难度:1 相似度:1.14

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190372. （2025•西工大附中•九上期末）（1）如图①，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6．点P为AB上动点，则CP长度的最小值为．
（2）如图②，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3．点P为平面内一点，CP=1，PQ⊥AB于点Q．求PQ长度最小值．
（3）如图③，光明公司在一块四边形荒地进行观赏种植实验，经过测量发现，四边形ABCD中，AB=CD=40米，AD=BC=30米，∠ABC=90°．种植方案是：将四边形ABCD分成一些区域种植不同的观赏作物，其中点E、F在AB、DC上，AE=2DF，CQ⊥EF于点P，交AD于点Q．现决定先对△ABP区域进行种植实验，请你确定△ABP的面积是否有最小值，若有最小值，求出△ABP的面积最小值；若没有最小值，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-02-06 难度:1 相似度:1.14

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190395. （2025•西工大附中•八上期末）（1）发现问题
如图①，已知在△ABC中，AC=AB，∠BAC=30°，点O为△ABC内一点，且OB=OC=BC，连接AO，则∠AOC的度数为．
（2）探究问题
如图②，在（1）的条件下，作CD⊥AC，且CD=CA，连接AD、BD，求∠ABD的度数．
（3）解决问题
如图③，已知四边形ABCD为某公园拟设计的一处休闲广场，AD、BD为两条主干道，且DA=DB，AD⊥BD，设计人员计划在△ABD内确定一点E，满足以下条件：AD=AE，∠DAE=30°，DE⊥CE，DE=CE．现准备在C、E两处建造两个凉亭，DE、EB、BC、CD为休闲小道，若DE=60米，试求四边形BCDE的面积．
$德优题库$

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.14

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190437. （2025•铁一中学•九上期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.14

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190494. （2025•碑林区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，AD与BE相交于点C，连接AB，DE，∠A＝∠E，

，若AB的长为21，求DE的长；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABCD是一个植物园的花卉区，经测量，AB＝BC＝CD＝AD，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线AC上取一点E，在边BC的延长线上取一点F，连接BE，EF，DF，EF与CD交于点G，根据工作人员的规划要求，BE与EF相等，EF与CD互相垂直，在扩建部分（△CDF区域内）新增加一种花卉，请你判断∠CDF与∠ADC之间的数量关系，并说明理由．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.14

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xgd513

2017-06-26

初中数学 | | 解答题

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2017年陕西省西安市西工大附中中考数学五模试卷

更新:2017-06-26 06:22浏览量:489

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