如果三角形的两个内角与满足那么我们称这样的三角形为准互余三角形若是准互余三角形则如图在中若是的平分线不难证明是准互余三角形试问在边上是否存在点异于点使得也是准互余三角形若存在请求出的长若不存在请说明理由如图在四边形中

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3145. （2018•滨河中学•真题）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，则∠B＝　　°；
（2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形ABCD中，AB＝7，CD＝12，BD⊥CD，∠ABD＝2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．

共享时间:2019-05-31 难度:5

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相似

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[考点]

勾股定理，相似三角形的性质，四边形综合题，翻折变换（折叠问题），

[校正]

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60°，
∴2∠B+∠A＝90°，
解得，∠B＝15°，
故答案为：15°；

（2）如图①中，

在Rt△ABC中，∵∠B+∠BAC＝90°，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠B+2∠BAD＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
∵△ABE也是“准互余三角形”，
∴只有2∠B+∠BAE＝90°，
∵∠B+∠BAE+∠EAC＝90°，
∴∠CAE＝∠B，∵∠C＝∠C＝90°，
∴△CAE∽△CBA，可得CA²＝CE•CB，
∴CE＝

，
∴BE＝5﹣

＝

．

（3）如图②中，将△BCD沿BC翻折得到△BCF．

∴CF＝CD＝12，∠BCF＝∠BCD，∠CBF＝∠CBD，
∵∠ABD＝2∠BCD，∠BCD+∠CBD＝90°，
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF＝180°，
∴A、B、F共线，
∴∠FAC+∠ACF＝90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°，
∴只有2∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠FCB＝∠FAC，∵∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴CF²＝FB•FA，设FB＝x，
则有：x（x+7）＝12²，
∴x＝9或﹣16（舍弃），
∴AF＝7+9＝16，
在Rt△ACF中，AC＝

＝

＝20．

[点评]

本题考查了"勾股定理四边形综合题翻折变换（折叠问题）相似三角形的性质 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

274160. （2024•铁一中学•二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

	甲	乙
进价（元/件）	15	35
售价（元/件）	20	45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．

共享时间:2024-03-26 难度:1 相似度:1.25

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284789. （2022•高新一中•八模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝

cm．动点P在边AB上从点A向点B运动，速度为1cm/s；过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm²）．
（1）当x＝　　 s时，点Q与点C重合；
（2）①求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
②在点P的运动过程中，是否存在y的最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-06-11 难度:1 相似度:1.25

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277028. （2023•西工大附中•七模）问题提出：
（1）如图1，N为正方形ABCD内一点，连接AN，DN，点M在DN延长线上，连接AM，BM，若∠BMD=∠MAN=90°，则∠AND= °；
问题解决：
（2）参观研学观光园是近年来兴起的一种研学旅行模式．如图2所示的五边形AMBCD为某研学观光园的规划设计图．其中AD∥BC，AD=AB=BC=400m,点P是两条笔直的观光小路AB与MD的交叉口，点N是小路AC与MD的交叉口，经测量∠BMD=∠MAN=∠BAD=60°．
①若点P恰为观光小路AB的中点，求此时小路AN的长度；
②观光园的设计者从实用和美观的角度综合考虑，想将园中由点B，N，C构成的三角形区域建设为采摘园，且使采摘园△BNC面积最小．是否存在这样的面积最小的△BNC？若存在，请求出这个面积的最小值；若不存在，说明理由．
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共享时间:2023-06-04 难度:1 相似度:1.25

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291403. （2020•铁一中学•一模）问题提出：

（1）如图①，已知线段AB及AB外点C，试在线段AB上确定一点D
问题探究：
（2）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠ABC＝

，D为AB中点，请求出△BDE周长的最小值．
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛ABCD．AB＝10m，AD＝24m，在AB上任取一动点E、连ED，过点A作AF⊥ED，在FD上截取FP＝

AF；现需在△PBC的区内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：

≈1.7）

共享时间:2020-03-14 难度:1 相似度:1.25

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212372. （2025•西安三中•二模） $德优题库$ 问题提出
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是CD的中点，点F，G分别在AD，AB上，且AF=2，BG=1，求△EFG的面积；
问题解决
（2）如图②，五边形ABCDE是某水上乐园的平面设计图，已知AB=200m,CD=250m,DE=400m,AE=500m,∠E=60°，AB∥DE，AE∥CD．现计划在园区内设计四边形人工湖BCFG用于开发水上游乐项目，G，F分别是AE，DE上的点，按照设计要求，GF∥AD，为了应对夏日客流高峰，人工湖的面积要建得尽可能大，是否存在符合设计要求的面积最大的人工湖？若存在，求四边形BCFG的最大面积及此时DF的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-03-20 难度:1 相似度:1.25

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274871. （2024•西工大附中•九模）如图，已知矩形ABCD，若点E、F分别在AD、AB边上，将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A′点，请利用尺规作图的方法，确定折痕EF的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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279591. （2023•师大附中•四模）问题情境
如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠BCD=90°，∠ADB=30°，∠BDC=45°，AB=2，点E为AD的中点，连接CE．以点D为中心，顺时针旋转△DEC，得到△DGF，点E，C的对应点分别为点G，F．
问题探究
（1）如图①，则CE的长为；
（2）如图②，在△DFG旋转过程中，当B，F，G三点共线时，求△ABF的面积；
（3）如图③，在△DFG旋转过程中，连接AF，AG，直接写出△AFG面积的最大值．
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共享时间:2023-04-27 难度:1 相似度:1.25

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274880. （2024•西工大附中•九模）（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P在边BC上．连接AP，过点P作PQ⊥AP．求AQ的最小值；
（2）如图②，矩形ABCD是某公园示意图，其中AB＝600米，BC＝800米．为了进一步改善人居环境，现需要对公园进行改扩建．根据现场勘察情况，边DC的外边有一片空地可以扩建．设计部门打算把扩建部分设计为直角三角形，即Rt△CDE，且∠CED＝90°，同时要在扩建后的五边形公园ABCED中的边BC上开一个门F，使得点F到点A、点E的距离相等且∠AFE＝90°．试问这样的设计能否实现？若能，求出扩建部分△CDE的面积及点F到点B的距离；若不能，请说明理由．

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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284325. （2023•铁一中学•二模）现有一块矩形板材ABCD，AB=4，AD=6，点E为边BC上一点，连接AE，过点E在矩形板材上作EF⊥AE，且EF=AE．
（1）如图1，若点F恰好落在边CD上，则线段CF的长为；
（2）如图2，连接CF，求线段CF长度的最小值；
（3）如图3，连接DF，工人师傅能否在这块矩形板材上裁出面积最小的四边形AEFD？若能，请求出四边形AEFD面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2023-03-16 难度:1 相似度:1.25

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275870. （2024•二十六中•三模）【问题提出】（1）如图1，在直线AB上找一点P，使得点P到C，D的距离之和最小；
【问题探究】（2）如图2，已知点D是△ABC边BC上一点，AB=4，BC=8，AC=CD=6．求AD的长；
【问题解决】（3）如图3，在一块边长为40米的正方形ABCD的花园中，点P是内部一点，为了有好的欣赏效果，设计者在PA，PD，PC之间修三条小路（宽度不计），将花园分为三部分种植不同的花卉．根据调查可知修路PC每米200元，修路PD每米100元，修路PA每米100元．测得PA长为20米．设计者想知道修三条小路的费用是否有最小值，若有，求出最小值，若没有，请说明理由．
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共享时间:2024-04-04 难度:1 相似度:1.25

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210838. （2025•曲江一中•六模） $德优题库$ 问题提出
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB=6，∠BAD=120°，点E是AD上一点，且AE=1，过点E的直线与BC交于点F．若EF平分菱形ABCD的面积，求四边形ABFE的周长；
问题解决
（2）某生物研究所在一块矩形草地上进行生物体的样本采样和研究工作，如图②，在矩形草地ABCD中，AB=80m,BC=100m,现规划在草地上△ABP区域内搭建帐篷，顶点P在矩形内，且tan∠APB=2，为了提升工作效率，过点P的直线l将矩形ABCD的面积平分为两部分，左侧为研究区，右侧为采样区，且P到AD，AB的距离相等，直线l分别交AD，BC于点M，N，是否存在满足要求的点M，N，若存在，求出此时AM，CN的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，P，M，N，C，D在同一平面内）

共享时间:2025-05-19 难度:1 相似度:1.25

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244330. （2023•曲江一中•九上期末）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE，若AB＝2，BE＝

，请直接写出△APE的面积．

共享时间:2023-02-19 难度:1 相似度:1.25

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285895. （2022•交大附中•一模）（1）如图①，点A、点B在直线l同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小；（不需要说明理由）
（2）如图②，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一定点，OP＝5，点E，F分别在OA，OB上，△PEF的周长是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由；
（3）如图③，已知四边形OABC中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝150°，BC＝2，OC＝

，点H为OA边上的一点且OH＝4，点P，F分别在边AB，OC上运动，点E在线段OH上运动，连接EF，EP，PF，△EFP的周长是否存在最小值？若存在，请求出△EFP周长最小值和此时OE的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-03-13 难度:1 相似度:1.25

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244229. （2023•师大附中•八下期末）教材再现：
（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E，F，则PE+PF的值为．
知识应用：
（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C₁处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13，CN=5，▱PEQF的周长是否为定值？若是，请求出▱PEQF的周长；若不是，请说明理由．
（3）如图3，当点P是等边△ABC 外一点时，过点P分别作直线AB、AC、BC的垂线、垂足分别为点E、D、F．若PE+PF-PD=3，请直接写出△ABC的面积．
$德优题库$

共享时间:2023-07-10 难度:1 相似度:1.25

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287303. （2020•师大附中•九模）问题提出
（1）如图①，点A在直线m上，点P在直线m外，请用尺规在直线m上找一点B，使得∠APB=60°（只作出满足条件一个图形即可）；
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AD=CD，对角线BD=10，求四边形ABCD的面积．
问题解决
（3）如图③，园林规划局想在正六边形草坪一角∠BOC内改建一个小型的儿童游乐场OMAN，其中OA平分∠BOC，OA=100米，∠BOC=120°，点M、N分别在射线OB和OC上，且∠MAN=90°，为了尽可能的少破坏草坪，要使游乐场OMAN面积最小．你认为园林规划局的想法能实现吗？若能，请求出游乐场OMAN面积的最小值；若不能，请说明理由．
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共享时间:2020-06-15 难度:1 相似度:1.25

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tyz511

2019-05-31

初中数学 | | 解答题

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更新:2019-05-31 06:35浏览量:1201

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