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2021-2022学年陕西省西安中学实验班高二（上）期中数学试卷

试卷总分:120分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）命题“∀x∈R，2^﹣x+2^x≥2”的否定是（　　）

A.∀x∈R，2^﹣x+2^x＜2	B.∃x₀∈R，≥2
C.∀x∉R，2^﹣x+2^x＜2	D.∃x₀∈R，＜2

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2. （本题5分）为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农民户籍各50人；男性60人，女性40人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（　　）

A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关

B.是否倾向选择生育二胎与性别无关

C.倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同

D.倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数

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3. （本题5分）已知平面α的法向量为

＝（2，﹣2，4），

＝（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（　　）

A.AB⊥α	B.．AB⊂α
C.AB与α相交不垂直	D.AB∥α

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4. （本题5分） 2021年9月在西安举行了第十四届全运会，西安中学体育馆承办了男子排球U20的比赛，这是全运会历史上第一次进入一所高中校园．为了让中学生也能在家门口看全运，浓厚校园体育氛围，学校采用分层抽样的方法从高一1200人、高二1450人、高三n人中，抽取80人观看排球决赛，已知高一被抽取的人数为24，那么高三年级人数n为（　　）

A.1250

B.1300

C.．1350

D.．1400

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5. （本题5分）如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则

等（　　）

B.．

C.．

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6. （本题5分）图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得展转相除法，若输入m＝209，n＝121，则输出m的值等于（　　）

A.10

B.．22

C.12

D.．13

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7. （本题5分）已知F₁（﹣3，0），F₂（3，0），是椭圆

＝1（a＞b＞0）两个焦点，P在椭圆上，∠F₁PF₂＝α，且当α＝

时，△F₁PF₂的面积最大，则椭圆的标准方程为（　　）

A.．

＝1

C.．

＝1

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8. （本题5分）数列{a_n}是等比数列，首项为a₁，公比为q，则“a₁（q﹣1）＞0”是“数列{a_n}递增”的（　　）

A.充分而不必要条件	B.必要而不充分条件
C.充分必要条件	D.．既不充分也不必要条件

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9. （本题5分）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为（　　）

A.9

B.．10

C.11

D.12

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10. （本题5分）如图，已知点P是正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线B′D′的中点，则异面直线DP与AB所成角的余弦值为（　　）

A.．0

C.．

D.．

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11. （本题5分）现有A，B两个不透明的袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球，其中A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．小明和小华商定了一个游戏规则：从摇匀后的A、B袋中各随机摸出一个小球交换一下放入另一个袋子，若A、B袋中球的颜色没有变化，则小明获胜：若有变化，则小华获胜．下面说法正确的是（　　）

A.小明获胜概率大	B.小华获胜概率大
C.游戏是公平的	D.获胜概率大小不能确定

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12. （本题5分）关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，小明同学通过下面的实验来估计π的值：首先利用计算机在区间（0，1）内生成随机数的方法取出n个三元有序数组（x_i，y_i，z_i）（中i＝1，2，…n），满足x_i，y_i，z_i∈（0，1）；然后计算出上面n个三元有序数组中一共有m个满足不等式x_i²+y_i²+z_i²≤1．依此估计圆周率π≈（　　）

D.．

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各10名同学的身高（单位：cm）．则这两组数据方差较小的是　　组．

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14. （本题5分）已知命题p：利用系统抽样的方法从100个人中抽取5人，需要分成20组，组距为5；命题q：利用最小二乘法求得的线性回归方程过样本的平均点

．
对于命题①p∨q；②p∧q；③￢p∧q；④p∨￢q．
其中为真命题的序号为　　．

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15. （本题5分）设椭圆

的右顶点为A，上顶点为B，左焦点为F．若∠ABF＝90°，则椭圆的离心率为　．

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16. （本题5分）在直三棱柱A₁B₁C₁﹣ABC中，底面ABC为直角三角形，∠BAC＝

，AB＝AC＝AA₁＝1．已知G与E分别为A₁B₁和CC₁的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点（不包括端点）．若GD⊥EF，则线段DF的长度的最小值为　

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三、解答题(6小题共40分)

17. （本题6分） 100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示．回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计这次考试的中位数n（结果保留一位小数）．

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18. （本题6分）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，

，

，已知P为平面内的一个动点，三角形△PF₁F₂周长为定值

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若P的轨迹上有一点M（x₀，y₀）满足MF₁⊥MF₂，求y₀的值．

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19. （本题8分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，点O是A₁C₁的中点，AO⊥平面A₁B₁C₁．已知∠BCA＝90°，AA₁＝AC＝BC＝2．
（1）求证：AB₁⊥A₁C；
（2）求A₁C₁与平面AA₁B₁所成角的正弦值．

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20. （本题8分）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x	20	15	13	3	2	﹣5	﹣10	﹣18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	﹣0.5	﹣2.5	﹣3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考数据：

．

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21. （本题6分）陕西省高考综合改革从2022年开始实施，新高考将实行“3+1+2”模式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选一科，2表示从化学、生物、政治、地理中选两科．假设学生在选科中选择每门首选科目（物理和历史）的机会均等，选择每门再选科目（化学、生物、政治、地理）的机会也均等，回答下列问题：
（1）求某位学生选修科目是原来的理科（物化生）或文科（史地政）的概率；
（2）某大学的一个热门人文专业的招生简章要求，仅允许选修了历史科目，且在地理和政治2门中至少选修了1门的考生报名．如表是随机抽取了某校10位学生的选科意向的数据：

选科	物化生	物生地	史地政	史地生	史化生
人数	3	1	3	2	1

如果这10位学生按照如表意向选择新高考科目，那么从这10人中抽取2人，求至少有一人有报考这个人文专业资格的概率．

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22. （本题6分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．
（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；
（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角

，求a的取值范围．

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2021-11-26

高中数学 | 段考 | 难度:1.5

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