偏差是指个别测定值与测定的平均值之差在成绩统计中我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差在某次考试成绩统计中某老师为了对学生数学偏差单位分与物理偏差单位分之间的关系进行分析随机挑选了位同学得到他们的两科成绩偏差数据如下学生序号数学偏差物理偏差若与之间具有线性相关关系求关于的线性回归方程若该次考试该数学平均分为分物理平均分为

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172335. （2021•西安中学•高二上期中）偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x	20	15	13	3	2	﹣5	﹣10	﹣18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	﹣0.5	﹣2.5	﹣3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该次考试该数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考数据：

．

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相似

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[考点]

经验回归方程与经验回归直线，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：（1）由题意，

，

，
所以

，
故线性回归方程为

，
（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，
则物理偏差为：ω＝91.5．
而数学偏差为128﹣120＝8，
∴

，解得ω＝94，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为94分．

[点评]

本题考查了"经验回归方程与经验回归直线，"，属于"常考题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

167036. （2023•西安中学•高三上一月） 3月14日OpenAI公司宣布正式发布为ChatGPT提供支持的更强大的下一代人工智能技术GPT﹣4，科技产业的发展迎来新的格局，数据显示，它在各种专业和学术基准上与人类水平相当，优秀到令人难以置信，虽然给各行业带来了不同程度的挑战，但是也孕育了新的发展机遇．下表是某教育公司从2019年至2023年人工智能上的投入情况，其中x表示年份代码（2019年用1表示，2020年用2表示，以此类推），y表示投入资金（单位：百万元）．

x	1	2	3	4	5
y	3	7	8	10	12

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高）（运算结果保留两位小数）
（2）求y关于x的线性回归方程

，并预测该公司2024年的投入资金．
参考公式与数据：

共享时间:2023-10-27 难度:1 相似度:2

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167060. （2023•西安中学•高三上一月）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为了估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面（单位：m²）和材积量（单位：m³），得到如下数据：

样本号i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积x_i	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量y_i	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得

，

．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量．
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数．（精确到0.01）
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到了所有这种树木的根部横截面积总和为186m²．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据估计该林区这种树木的总材积量．
附：相关系数

，

．

共享时间:2023-10-30 难度:1 相似度:2

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172310. （2022•师大附中•高二下期中）有人收集了某10年中某城市居民年收入与某种商品的销售额的相关数据：

第n年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
年收入/亿元	23	28	39	43	49	51	53	56	58	60
商品销售额/万元	14	18	21	26	29	32	35	38	42	45

（1）建立商品年销售额y与居民年收入x之间的回归方程；
（2）通过建立的商品年销售额y与居民年收入x之间的回归方程，估计居民年收入为100亿元时，此商品的年销售额．
参考公式：

．
参考数据：

．

共享时间:2022-05-16 难度:1 相似度:2

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172160. （2023•西安三中•高二下期中）基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域．某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试，为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：

，

，其中x_i，y_i分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，i＝1，2，…，50，y与x的相关系数r≈0.45．

（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r₀.试判断r₀与r的大小关系（不必说明理由）；
（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试，物理成绩是多少？（精确到0.1）

共享时间:2023-05-21 难度:1 相似度:2

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171324. （2023•西安中学•高三上期中）某农科所对冬季昼夜温差与某反季节大豆种子发芽多少之间的关系进行分析研究，他们记录了12月1日至5日的昼夜温差与每天100颗种子的发芽数，数据如下．

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
温差x（℃）	10	11	13	12	8
发芽数y（颗）	23	25	30	26	16

该农科所确定的研究方案：先从五组数据中选取两组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再用被选取的两组数据进行检验．
（1）若先选取的是12月1日和5日的数据，请根据2日至4日的三组数据，求y关于x的线性回归方程

；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试判断（1）中所得到的线性回归方程是否可靠．
注：

，

．

共享时间:2023-11-28 难度:1 相似度:2

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171261. （2024•师大附中•高二下期中）近年来，我国新能源汽车发展进入新阶段．某品牌2018年到2022年新能源汽车年销量w（万）如下表：其中年对应的年份代码t为1﹣5．

年份代码t	1	2	3	4	5
销量w（万）	4	9	14	18	25

（1）判断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数（精确到0.01）；
（2）（i）假设变量x与变量Y的n对观测数据为（x₁，y₁），（x₂，y₂），⋯，（x_n，y_n），两个变量满足一元线性回归模型

（随机误差e_i＝y_i﹣bx_i），请写出参数b的最小二乘估计；
（ii）令变量

，则变量x与变量Y满足一元线性回归模型

，利用（i）中结论求y关于x的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量．
附：样本相关系数

，

．

共享时间:2024-05-17 难度:1 相似度:2

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170874. （2025•师大附中•高二下期中）为解决农产品难卖、知名度不高等问题，某县凝聚电商直播群体及电商直播销售行业“新”力量助力乡村振兴．下表为某农户在7个月的直播中产生的农产品销售额：

时间代码x	1	2	3	4	5	6	7
销售额y （单位：千元）	0.84	1.37	2.76	4.43	5.49	7.66	8.94

对数据进行处理后，得到如下统计量的值：

	x_iy_i
4.5	165.2	140

参考公式：

，

．
（1）根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）规定当月销售额超过1.5万元时，能被评选为“优秀带货主播”，预测该农户在第几个月能被评选为“优秀带货主播”．

共享时间:2025-04-26 难度:1 相似度:2

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170640. （2021•长安区一中•高二上期末） 2020年8月11日新华社北京电，国家主席习近平对制止餐饮浪费行为作出重要指示．他指出，餐饮浪费现象，触目惊心、令人痛心！“谁知盘中餐，粒粒皆辛苦．”尽管我国粮食生产连年丰收，对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟．粮食问题是关乎民生的大问题．某地近几年来粮食产量逐步上升，如表是部分统计数据：

年份	2015	2016	2017	2018	2019
年份代码x	1	2	3	4	5
需求量y/万吨	136	146	157	176	186

（1）利用所给数据求粮食年需求量y与年份代码x之间的回归直线方程

；
（2）预测2020年的粮食需求量．
参考公式：

＝

，

．

共享时间:2021-02-28 难度:1 相似度:2

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170464. （2022•西工大附中•高一下期末）改革开放以来，我国经济持续高速增长．如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值（以下简称为：产业差值）的折线图，记产业差值为y（单位：万亿元）．
注：年份代码1﹣10分别对应年份2010﹣2019．

（1）求出y关于年份代码t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2010﹣2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；
（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差（结果精确到0.1）．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

，

．样本方差公式：

．参考数据：

，

．

共享时间:2022-07-08 难度:1 相似度:2

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170010. （2023•西工大附中•高三上期末）近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：
表1

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	101	196

根据以上数据，绘制了如图所示的散点图．

（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d^x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
（3）推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2
表2

支付方式	现金	乘车卡	扫码
比例	10%	60%	30%

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为

，享受8折优惠的概率为

，享受9折优惠的概率为

．根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．
参考数据：

				10^0.54
62.14	1.54	2535	50.12	3.47

其中υ_i＝lgy_i，

参考公式：对于一组数据（u₁，υ₁），（u₂，υ₂），…（u_n，υ_n），其回归直线

的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

，

．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:2

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169437. （2024•西安中学•高二下期末）下表是某单位在2023年1～5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：

月份x	1	2	3	4	5
用水量y	2.5	3	4	4.5	5.2

（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠？说明理由．
参考公式：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为：

，

．

共享时间:2024-07-09 难度:1 相似度:2

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169415. （2024•西安中学•高三上期末）造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义．某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差x（单位：cm）与树干最大直径偏差y（单位：mm）之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据（偏差是指个别测定值与测定的平均值之差）如下：

树苗序号	1	2	3	4	5	6	7	8
高度偏差x	20	15	13	3	2	﹣5	﹣10	﹣18
直径偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	﹣0.5	﹣2.5	﹣3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为31.5mm，试由（1）的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米．
参考数据：

，

．
参考公式：回归直线方程

中斜率和截距的最小二乘估计：

，

．

共享时间:2024-02-27 难度:1 相似度:2

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169101. （2020•西工大附中•三模） 2020年初，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，口罩成了重要的防疫物资．某口罩生产厂不断加大投入，高速生产，现对其2月1日～2月9日连续9天的日生产量y_i（单位：十万只，i＝1，2，…，9）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值：


2.72	19	139.09	1095

注：图中日期代码1～9分别对应2月1日～2月9日；表中

，

．
（1）从9个样本点中任意选取2个，在2个点的日生产量都不高于三十万只的条件下，求2个都高于二十万只的概率；
（2）由散点图分析，样本点都集中在曲线y＝ln（bt+a）的附近，请求y关于t的方程y＝ln（bt+a），并估计该厂从什么时候开始日生产量超过四十万只．
参考公式：回归直线方程是

＝

，

＝

，

＝

﹣

．
参考数据：e⁴≈54.6．

共享时间:2020-04-14 难度:1 相似度:2

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168803. （2021•西工大附中•十三模）某新兴科技公司为了确定新研发的产品下一季度的营销计划，需了解月宣传费x（单位：万元）对月销售量y（单位：千件）的影响，收集了2020年3月至2020年8月共6个月的月宣传费x和月销售量y的数据如表：

月份	3	4	5	6	7	8
宣传费x	5	6	7	8	9	10
月销售量y	0.4	3.5	5.2	7.0	8.6	10.7

现分别用模型①

和模型②

对以上数据进行拟合，得到回归模型，并计算出模型的残差如表：
（模型①和模型②的残差分别为

和

，残差＝实际值﹣预报值）

x	5	6	7	8	9	10
y	0.4	3.5	5.3	7.0	8.6	10.7
	﹣0.6	0.54	0.28	0.12	﹣0.24	﹣0.1
	﹣0.63	1.71	2.10	1.63	﹣0.7	﹣5.42

（1）根据上表的残差数据，应选择哪个模型来拟合月宣传费x与月销售量y的关系较为合适，简要说明理由；
（2）为了优化模型，将（1）中选择的模型残差绝对值最大所对应的一组数据（x，y）剔除，根据剩余的5组数据，求该模型的回归方程，并预测月宣传费为12万元时，该公司的月销售量．
（剔除数据前的参考数据：

＝7.5，

＝5.9，

，

，z＝lny．

≈﹣1.41，

，ln10.7≈2.37，e^4.034≈56.49．）
参考公式：

，

．

共享时间:2021-07-22 难度:1 相似度:2

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168480. （2021•西安中学•三模）某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%，通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰好有2天下雨的概率．用随机数x（x∈N，且0≤x≤9）表示是否下雨：当x∈[0，m]（m∈Z）时表示该地区下雨，当x∈[m+1，9]时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：
332 714 740 945 593 468 491 272 073 445
992 772 951 431 169 332 435 027 898 719
（1）求出m的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；
（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）．