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2021-2022学年陕西省西安市长安一中高二（下）期末数学试卷（理科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）设集合A＝{x∈N^*|x＜3}．若集合B满足A∪B＝{1，2，3}，则满足条件的集合B的个数为（　　）

A.1

B.．2

C.3

D.4

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2. （本题5分）已知复数z满足z+z•i＝2（其中i为虚数单位），则z的虚部为（　　）

A.．﹣1

B.1

C.．﹣i

D.i

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3. （本题5分）已知向量

，

满足|

|＝1，|

|＝2，|

﹣2

|＝

，则

•

＝（　　）

A.．

B.．

C.．﹣

D.．﹣

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4. （本题5分）蒙特•卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法．某同学根据蒙特•卡罗方法设计了以下实验来估计圆周率π的值，每次用计算机随机在区间（0，3）内取两个数，共进行了1000次实验，统计发现这两个数与3能构成钝角三角形的情况有280种，则由此估计π的近似值为（　　）

A.．3.12

B.．3.13

C.．3.14

D.．3.15

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5. （本题5分）已知双曲线E：

＝1（a＞0，b＞0）以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则E的实轴长为（　　）

A.．2

﹣2

B.2

﹣1

D.．

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6. （本题5分）已知α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（　　）

A.若m∥α，m∥β，则α∥β	B.若m∥α，n∥α，则m∥n
C.．若m⊥α，n⊥α，则m∥n	D.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

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7. （本题5分）已知a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“2^a+2^b≥4”的（　　）

A.．必要不充分条件	B.充分不必要条件
C.．充要条件	D.．既不充分也不必要条件

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8. （本题5分）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　）

A.12种

B.．24种

C.．36种

D.48种

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9. （本题5分）在公差大于0的等差数列{a_n}中，2a₇﹣a₁₃＝1，且a₁，a₃﹣1，a₆+5成等比数列，则数列{（﹣1）ⁿ^﹣1a_n}的前21项和为（　　）

A.21

B.．﹣21

C.441

D.．﹣441

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10. （本题5分）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为36π的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为（　　）

A.2

B.4

C.．16π

D.．

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11. （本题5分）椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为

，则C的离心率为（　　）

B.．

C.．

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12. （本题5分）已知0＜x＜y＜π，且e^ysinx＝e^xsiny，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（　　）

A.	B.
C.cosx+cosy＞0	D.sinx＞siny

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）某区域有大型城市18个，中型城市12个，小型城市6个．为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取6个城市进行调查，则应抽取的大型城市的个数为　　．

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14. （本题5分）写出与圆x²+y²＝1和（x﹣3）²+（y﹣4）²＝16都相切的一条直线的方程　　．

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15. （本题5分）将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移

个单位长度后得到函数g（x）的图象，则g（x）＝　　；若g（x）在区间[0，m]上的最小值为g（0），则m的最大值为　．

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16. （本题5分）已知函数f（x）＝（1﹣x²）（x²+ax+b），且函数y＝f（x﹣2）是偶函数，则函数f（x）的最大值为　．

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三、解答题(7小题共70分)

17. （本题10分） △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+

cosA＝0，a＝2

，b＝2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

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18. （本题12分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝2AB＝2，E是AD中点，将△CDE沿直线CE翻折到△CPE的位置，使得PB＝

，如图2．

（1）求证：面PCE⊥面ABCE；
（2）求PC与面ABP所成角的正弦值．

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19. （本题12分）甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛，已知每一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛时可以用三局二胜或五局三胜制，问：
（1）在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？
（2）若采用三局二胜制，求比赛场次ξ的分布列及数学期望．

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20. （本题12分）已知椭圆C₁：

的离心率为

，

是椭圆C₁上的点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）已知点P为椭圆C₁上的任意一点，过点P作C₁的切线与圆C₂：x²+y²＝12交于A，B两点，设OA，OB的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值，并求该定值．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝ax+cosx（0≤x≤π，a∈R）．
（1）当

时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为M、m，求证：

．

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22. （本题12分）在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

（t为参数且t≠1），曲线C₁与x轴，y轴分别交于A，B两点，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

．
（1）求A，B两点的直角坐标及曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设直线AB与曲线C₂：交于P，Q两点，求|AP|•|AQ|的值．

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23. （本题0分）已知f（x）＝2|x﹣1|+|x﹣2|﹣a，若f（x）≥0在R上恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设实数a的最大值为m，若正数b，c满足

，求bc+c+2b的最小值．

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dygzsxyn

2022-07-21

高中数学 | 考试 | 难度:1.65

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