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2022-2023学年陕西省西安市长安一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）

试卷总分:150分命题人:dygzsxyn 考试时长:120分钟

一、选择题(12小题共60分)

1. （本题5分）已知复数z＝i³（i为虚数单位），则

的共轭复数的模是（　　）

A.1

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2. （本题5分）如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（　　）

A.甲的数学成绩最后3次逐渐降低

B.甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数

C.甲有7次考试成绩比乙高

D.甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差

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3. （本题5分）已知集合

，B＝{0，1，2，3，4，5}，则{4，5}＝（　　）

A.（∁_RA）∪B

B.（∁_RA）∩B

C.（∁_RB）∪A

D.（∁_RB）∩A

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4. （本题5分）图形是信息传播、互通的重要的视觉语言，《画法几何》是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图“来表示三维空间中立体图形．即做一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图．如图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥的外接球的表面积为（　　）

A.26π

B.27π

C.30π

D.33π

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5. （本题5分）函数y＝sin（2x）•log₂|x|的图象大致是（　　）

A. $德优题库$	B. $德优题库$
C. $德优题库$	D. $德优题库$

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6. （本题5分）已知在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数

无极值点，则cosB的最小值是（　　）

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7. （本题5分）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，P为线段A₁B上的动点（不含端点），则下列结论错误的个数是（　　）
①平面D₁A₁P⊥平面A₁AP
②∠APD₁的取值范围是

③三棱锥B₁﹣D₁PC的体积为定值
④DC₁⊥D₁P

A.1

B.2

C.3

D.4

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8. （本题5分）中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，AA₁垂直于底面，AA₁＝5，底面扇环所对的圆心角为

，弧AD长度是弧BC长度的3倍，CD＝2，则该曲池的体积为（　　）

B.5π

D.10π

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9. （本题5分）设球O与圆锥SO₁的体积分别为V₁，V₂，若球O的表面积与圆锥SO₁的侧面积相等，且圆锥SO₁的轴截面为正三角形，则

的值是（　　）

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10. （本题5分）设椭圆C：

的右焦点为F，椭圆C上的两点A，B关于原点对称，且满足

，|FB|≤|FA|≤2|FB|，则椭圆C的离心率的最大值是（　　）

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11. （本题5分）已知

，给出下列结论：
①若f（x_I）＝1，f（x₂）＝﹣1，且|x₁﹣x₂|_min＝π，则ω＝1；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象向左平移

个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为

；
④若f（x）在

上单调递增，则ω的取值范围为

．
其中，所有错误结论的编号是（　　）

A.①②

B.①③

C.②③

D.②④

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12. （本题5分）设a＝0.1e^0.1，b＝

，c＝﹣ln0.9，则（　　）

A.a＜b＜c

B.c＜b＜a

C.c＜a＜b

D.a＜c＜b

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二、填空题(4小题共20分)

13. （本题5分）已知平面向量

，

满足

，

，则

与

的夹角为　　．

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14. （本题5分）从1，4，9，16，25中任取两个数，它们均小于这五个数的平均数的概率是　　．

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15. （本题5分）已知双曲线

的两条渐近线均与圆F：（x﹣5）²+y²＝9相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为　　．

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16. （本题5分）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，角A是钝角，则

的取值范围是　　．

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三、解答题(5小题共60分)

17. （本题12分）已知等差数列{a_n}是单调递增数列，a₂＝2，且a₃﹣1，a₄，a₅+5成等比数列，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设

，T_n是数列{b_n}的前n项和，求T_n．

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18. （本题12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，∠DAB＝60°，PA＝PD＝

，E为AB的中点，O为AD的中点，PE⊥AC．
（1）证明：AC⊥PO；
（2）求点O到平面PBD的距离．

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19. （本题12分）为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时玩手机时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．

非手机控	手机控	合计
男	x	m	n
女	y	10	55
合计

（1）求列表中数据x，y，m，n的值；
（2）能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？
独立性检验临界值表：

P（K²≥k₀）	0.05	0.01	0.005	0.001
k₀	3.841	6.635	7.879	10.828

参考公式及数据：

，其中n＝a+b+c+d．

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20. （本题12分）已知椭圆C的一个焦点为

，椭圆过

，椭圆C的左顶点为P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知斜率存在且不为0的直线l过点D（1，0），设直线l与椭圆C交于A，B．若直线PA，PB分别交直线x＝3于点M，N，且

，记直线AB，RD的斜率分别为k，k'．
探究：k•k'是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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21. （本题12分）已知函数f（x）＝e^x﹣ax²﹣bx﹣1，a，b∈R，e＝2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值．
（2）若a≤

时g（x）_min＝0，证明：当x＞0时，（e^x﹣b）ln（x+1）＞x²．

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四、附加题(2小题共10分)

22. （本题10分）在平面直角坐标系xOy中，圆C₁的圆心坐标为（2，2）且过原点，椭圆E的参数方程为

（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为

．
（1）求圆C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）若曲线C₂与圆C₁相交于异于原点的点P，M是椭圆E上的动点，求△OPM面积的最大值．

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23. （本题0分）已知函数f（x）＝2|x|+|2x﹣1|，集合A＝{x|f（x）＜3}．
（1）求A；
（2）若s，t∈A，求证

．

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dygzsxyn

2022-12-21

高中数学 | 段考 | 难度:1.7

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