问题提出如图是等边三角形若点是的内心则的长为问题探究如图在矩形中如果点是边上一点且那么边上是否存在一点使得线段将矩形的面积平分若存在求出的长若不存在请说明理由问题解决某城市街角有一草坪草坪是由草地和弦与其所对的劣弧围成的草地组成如图所示管理员王师傅在处的水管上安装了一喷灌龙头以后他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水并且在用喷灌

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5

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[考点]

等边三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，特殊角的三角函数值，圆的综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，则AD=

AC=

×12=6，

∵O是内心，△ABC是等边三角形，
∴∠OAD=

∠BAC=

×60°=30°，
在Rt△AOD中，cos∠OAD=cos30°=

，
∴OA=6÷

，
故答案为：4

；
（2）存在，如图2，连接AC、BD交于点O，连接PO并延长交BC于Q，则线段PQ将矩形ABCD的面积平分，

∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴CQ=AP=3，
过P作PM⊥BC于点M，则PM=AB=12，MQ=18﹣3﹣3=12，
由勾股定理得：PQ=

=12

；
（3）如图3，作射线ED交AM于点C

∵AD=DB，ED⊥AB，

是劣弧，
∴

所在圆的圆心在射线DC上，
假设圆心为O，半径为r，连接OA，则OA=r，OD=r﹣8，AD=

AB=12，
在Rt△AOD中，r²=12²+（r﹣8）²，
解得：r=13，
∴OD=5，
过点M作MN⊥AB，垂足为N，
∵S_△ABM=96，AB=24，
∴

AB•MN=96，

×24×MN=96，
∴MN=8，NB=6，AN=18，
∵CD∥MN，
∴△ADC∽△ANM，
∴

，
∴

，
∴DC=

，
∴OD＜CD，
∴点O在△AMB内部，
∴连接MO并延长交

于点F，则MF为草坪上的点到M点的最大距离，
∵在

上任取一点异于点F的点G，连接GO，GM，
∴MF=OM+OF=OM+OG＞MG，
即MF＞MG，
过O作OH⊥MN，垂足为H，则OH=DN=6，MH=3，
∴OM=

，
∴MF=OM+r=3

+13≈19.71（米），
答：喷灌龙头的射程至少为19.71米．

[点评]

本题考查了"等边三角形的性质勾股定理矩形的性质圆的综合题特殊角的三角函数值 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3 相似度:1.56

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1001. （2018•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=5，则△ABC的外接圆半径R的值为　　．
问题探究
（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB=24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．
问题解决
（3）如图③所示，AB、AC、

是某新区的三条规划路，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，

所对的圆心角为60°，新区管委会想在

路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在

、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

共享时间:2018-07-02 难度:5 相似度:1.2

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:1.07

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-11 难度:5 相似度:0.9

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508. （2018•陕西省•副题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，且

＝

，过点D作CB的垂线，与CB的延长线相交于点E，并与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R＝5，AC＝8，求DF的长．

共享时间:2018-07-03 难度:5 相似度:0.9

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2897. （2019•益新中学•模拟）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:0.8

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6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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共享时间:2017-05-30 难度:4 相似度:0.8

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2895. （2019•益新中学•模拟）如图，PB为⊙O的切线，B为切点．过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线．
（2）若

，且OC＝4，求PA的长．

共享时间:2019-05-28 难度:3 相似度:0.7

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6111. （2017•西工大附中•模拟）如图，用尺规在矩形ABCD的边AD上找一点E，使∠BEA=30°．（保留作图痕迹，不写作法）
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共享时间:2017-07-21 难度:2 相似度:0.7

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1140. （2020•陕西省•副题）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿着三角尺和皮尺来到了操场，如图所示，小宁在E处用三角尺测得小树CD顶部C的仰角为30°，然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树AB顶部A的仰角也是30°．已知，B、D、E、M四点共线，AB⊥BM，CD⊥BM，EF⊥BM，MN⊥BM，小宁眼睛距地面的高度不变，即EF=MN，他们测得BD=4.5米，EM=1.5米，求大树AB比小树CD高多少米？
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