如图在中是的外接圆点在上且过点作的垂线与的延长线相交于点并与的延长线相交于点求证是的切线若的半径求的长

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508. （2018•陕西省•副题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的外接圆，点D在⊙O上，且

＝

，过点D作CB的垂线，与CB的延长线相交于点E，并与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径R＝5，AC＝8，求DF的长．

共享时间:2018-07-03 难度:5

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相似

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[考点]

勾股定理，相似图形，矩形的性质，切线定理逆定理，

[校正]

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图，作DP⊥AC于P，
∵

，∴AP＝CP，PD经过圆心O点，
又∠C＝90°，
∴CE∥PD，又DE⊥CE
∴∠PDE＝90°
∴四边形DPCE是矩形，
∴DF⊥OD
∴DF是⊙O的切线
（2）由（1）知，四边形DPCE是矩形，
∴AC∥DF，
∴△APO∽△FDO
∴

∴⊙O的半径AO＝DO＝5，AC＝8
∴PA＝

＝4
∴

∴

∴DF＝

[点评]

本题考查了"勾股定理矩形的性质切线定理逆定理相似图形 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

274160. （2024•铁一中学•二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

	甲	乙
进价（元/件）	15	35
售价（元/件）	20	45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．

共享时间:2024-03-26 难度:1 相似度:1.25

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197518. （2024•曲江一中•八上期中） $德优题库$ 如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，4），B（-4，1），C（-1，2）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A₁B₁C₁；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是y轴上的动点，则△APC周长的最小值= ．

共享时间:2024-11-20 难度:1 相似度:1.25

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963. （2016•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，已知△ABC，请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）如图③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-11 难度:5 相似度:1

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285467. （2025•交大附中•九上期中）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝4，BC＝8，求菱形AECF的周长．

共享时间:2025-11-19 难度:4 相似度:0.9

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.9

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19122. （2016•益新中学•模拟）问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD的对角线BD上作一点P，使PA+PC最小；
（2）如图②，点P为矩形ABCD的对角线BD上一动点，AB＝2，BC＝2

，点E为BC边的中点，求作一点P，使PE+PC最小，并求这个最小值．
问题解决
（3）如图③，李师傅有一块边长为1000米的菱形ABCD采摘园，AC＝1200米，BD为小路，BC的中点E为一水池，李师傅现在准备在小路BD上建一个游客临时休息纳凉室P，为了节省土地，使休息纳凉室P到水池E与大门C的距离之和最短，那么是否存在符合条件的点P？若存在，请作出的点P位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-06-20 难度:5 相似度:0.83

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19855. （2021•陕西省•真题）问题提出
（1）如图1，在▱ABCD中，∠A＝45°，AB＝8，AD＝6，E是AD的中点，点F在DC上，且DF＝5，求四边形ABFE的面积．（结果保留根号）
问题解决
（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．