在锐角中将绕点按逆时针方向旋转得到如图当点在线段的延长线上时求的度数如图连接若的面积为求的面积如图点为线段中点点是线段上的动点在绕点按逆时针方向旋转过程中点的对应点是点求线段长度的最大值与最小值

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2897. （2019•益新中学•模拟）在锐角△ABC中，AB＝4，BC＝5，∠ACB＝45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁．若△ABA₁的面积为4，求△CBC₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P₁，求线段EP₁长度的最大值与最小值．

共享时间:2019-05-28 难度:4

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[考点]

勾股定理，相似三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，旋转的性质，旋转与线段最值问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）由旋转的性质可得：∠A₁C₁B＝∠ACB＝45°，BC＝BC₁，
所以∠CC₁B＝∠C₁CB＝45°，
所以∠CC₁A₁＝∠CC₁B+∠A₁C₁B＝45°+45°＝90°．
（2）因为△ABC≌△A₁BC₁，
所以BA＝BA₁，BC＝BC₁，∠ABC＝∠A₁BC₁，

＝

，∠ABC+∠ABC₁＝∠A₁BC₁+∠ABC₁，
所以∠ABA₁＝∠CBC₁，
所以△ABA₁∽△CBC₁．
所以，

＝（

）²＝（

）²＝

，
因为

＝4，
所以

＝

；
（3）如图

，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
因为△ABC为锐角三角形，所以点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD＝BC×sin45°＝

；
①当P在AC上运动至BP⊥AC时，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁＝BP₁﹣BE＝BD﹣BE＝

﹣2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁＝BC+BE＝2+5＝7．

[点评]

本题考查了"勾股定理旋转的性质相似三角形的判定与性特殊角的三角函数值旋转与线段最值问题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6043. （2017•铁一中学•模拟）如图，在△ABC中，以AB为直径作半圆O，半圆O与BC相交于点D，半圆O与AC相交于点E，且点D为弧BE的中点，半圆O的切线BF与AC的延长线相交于点F．
（1）求证：AC=AB；
（2）若EF：AE=9：16，求sin∠CBF．
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共享时间:2017-05-30 难度:4 相似度:1.2

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3143. （2018•滨河中学•真题）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD．已知∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，tanB＝

，求⊙O的半径．
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共享时间:2019-05-31 难度:3 相似度:1.07

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23871. （2020•益新中学•九上期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点P在BC的延长线上，AP，DE交于点G，AP，CD交于点F．
（1）求证：AD•CF=CP•DF．
（2）若DF=2CF，AB=6，求DG的长．
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共享时间:2021-03-28 难度:4 相似度:1.07

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807. （2015•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E．
（1）求证：∠BAD=∠E；
（2）若⊙O的半径为5，AC=8，求BE的长．

共享时间:2015-08-18 难度:3 相似度:1.07

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25806. （2024•西北大附中•一模）某校项目式学习小组开展项目活动，过程如下：
项目主题：测量学校旗杆高度
问题驱动：能利用哪些科学原理来测量旗杆的高度？
组内探究：由于旗杆较高，需要借助一些工具来测量，比如标杆，镜子，测角仪…确定方法后，先画出测量示意图，然后实地进行测量，并得到具体数据，从而计算旗杆的高度．
成果展示：下面是同学们进行交流展示时的其中两种测量方案：

	方案一	方案二
测量工具	测量角度的仪器，皮尺	皮尺，标杆
测量方案示意图	$德优题库$	$德优题库$
说明	点C、D、A在同一条直线上，AB⊥AC	A、E、C三点共线，D、F、B三点共线，CD、EF、AB均垂直于AC
测量数据	∠ACB=37°，∠ADB=45°，CD=4m	标杆EF=2m,小明的身高CD=1.5m,CE=1m,AE=20m
参考数据	sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75

任务解决：请选择其中一个方案及其数据计算学校旗杆的高度AB．

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.07

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650. （2019•陕西省•副题）如图，⊙O的半径OA＝6，过点A作⊙O的切线AP，且AP＝8，连接PO并延长，与⊙O交于点B、D，过点B作BC∥OA，并与⊙O交于点C，连接AC、CD．
（1）求证：DC∥AP；
（2）求AC的长．

共享时间:2019-07-10 难度:4 相似度:0.9

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24637. （2022•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，AM是⊙O的切线，AC、CD是⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，连接BD并延长，交AM于点P．
（1）求证：∠CAB＝∠APB；
（2）若⊙O的半径r＝5，AC＝8，求线段PD的长．

共享时间:2022-06-21 难度:4 相似度:0.9

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6067. （2017•铁一中学•模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作⊙O的切线与CD的延长线交于点F，CG∥AB交直线AF于点G
（1）若AC＝BC，求证：CG是⊙O的切线；
（2）如果DE＝

CE，AC＝8

且D为EF的中点，求直径AB的长．

共享时间:2017-05-28 难度:3 相似度:0.9

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19853. （2021•陕西省•真题）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且

＝2

，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

共享时间:2021-06-25 难度:4 相似度:0.8

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921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:0.8

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22440. （2021•师大附中•九上一月）问题背景：如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用：如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=60°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，

=2，求

的值；
拓展创新：如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=8，AC=4

，则AD的长为．
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共享时间:2021-10-15 难度:5 相似度:0.8

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26033. （2023•西工大附中•十模）如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.8

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26022. （2024•高新一中•六模）已知Rt△ABC，∠ABC=90°，AB=9，BC=12，以AB为直径作圆O交AC于点E，点D，F分别在边BC，AB上，连接DE，CF，且满足DE=DB，tan∠ACF=

．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求CF的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.8

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26023. （2024•交大附中•三模）如图，⊙O是四边形ACBD的外接圆，AB为⊙O的直径，DE⊥BC交CB的延长线于点E，且DE为⊙O的切线．
（1）求证：∠DBA=∠EBD；
（2）若tan∠ABD=2，⊙O半径为

，求CE的长．
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共享时间:2024-04-05 难度:4 相似度:0.8

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25626. （2023•爱知中学•二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在直径AB上（点C与A，B两点不重合），点D在⊙O上，且满足AC=AD，直线BP切⊙O于点B，连接DC并延长交BP于E点，过点D作DF⊥BE，垂足为点F．
（1）求证：BE=BD．
（2）若OC=3，AO=5，求DF的长．
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共享时间:2023-04-28 难度:4 相似度:0.73

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yxzx2021

2019-05-28

初中数学 | | 解答题

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2019年陕西省西安市益新中学中考数学一模试卷

更新:2019-05-28 06:36浏览量:1005

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