问题探究如图在矩形中如果边上存在点使为等腰三角形那么请画出满足条件的一个等腰三角形并求出此时的长如图在中是边上的高分别为边的中点当时边上存在一点使求此时的长问题解决有一山庄它的平面图为如图的五边形山庄保卫人员想在线段上选一点安装监控装置用来监视边现只要使大约为就可

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3

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[考点]

三角形中位线定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直线与圆的位置关系，圆的综合题，

[校正]

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′=

．
∴BP′=4﹣

．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=

．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，则BP=2；
若DP=DA，则BP=4﹣

；
若AP=AD，则BP=

．

（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=

BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=

．
∴BQ=GQ+BG=3+

．
∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+

．

（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，
过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=

AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285﹣135=150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°
=135×

=45

．
∴OA=2OP=90

．
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90

．．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90

，
∴HM=

=30

．
∵AE=400，OP=45

，
∴DH=400﹣45

．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45

+30

．
∵400﹣45

+30

＞340，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45

﹣30

．
∵400﹣45

﹣30

＜340，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，
此时DM的长为（400﹣45

﹣30

）米．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性等边三角形的性质勾股定理三角形中位线定理矩形的性质正方形的判定与性质直线与圆的位置关系圆的综合题特殊角的三角函数值 "，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.56

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277372. （2023•交大附中•四模） $德优题库$ 如图，在等边△ABC中，AE与CD交于点F．给出下列两个条件：①EC=DB，②∠ADC=∠BEA．
请从①②中任选一个作为已知条件，余下一个作为结论进行证明．

共享时间:2023-04-16 难度:2 相似度:1.22

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287379. （2020•铁一中学•七模） $德优题库$ 如图，矩形ABCD中，点E是BC边上一点，且DE=AD．过点A作AF⊥DE交DE于点F．求证：AB=AF．

共享时间:2020-06-06 难度:2 相似度:1.22

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282159. （2023•师大附中•二模） $德优题库$ 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的点，且OE=OF，连接AE，DF．
求证：∠EAD=∠FDA．

共享时间:2023-03-22 难度:2 相似度:1.22

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244251. （2023•师大附中•八上期末） $德优题库$ 如图，A，F，E，D在同一条直线上，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB=CD，AF=DE，求证：AB∥CD．

共享时间:2023-02-08 难度:1 相似度:1.11

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277710. （2025•曲江一中•八模） $德优题库$ 已知：如图，AB=AE，AB∥DE，∠DAB=∠E+∠B．求证：AD=BC．

共享时间:2025-06-10 难度:1 相似度:1.11

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277718. （2025•曲江一中•八模）问题提出：
（1）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=60°，BC=4，则⊙O半径长等于；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，若在边CD上存在一点P，使得∠APB=90°，求矩形ABCD面积的最大值；
问题解决：
（3）如图3，是一个矩形广场，其中AB=60m,BE足够长．为了方便居民生活，促进经济发展，街道计划在矩形内部修建一个面积尽量大的交易市场ABCD，其中C，D分别在边BE，AF上，且∠BCD=45°．在具体施工中安全联防小组要求在CD上找到一点Q，使得∠AQB=45°，以便安装摄像头对市场进行安全监管．请问满足上面要求的市场ABCD是否存在，若存在，请求出市场ABCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2025-06-10 难度:1 相似度:1.11

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21716. （2021•交大附中•七模）问题提出
（1）如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB边上一点，以CD为腰作等腰Rt△CDE，连接BE，则AD与BE的数量关系是，位置关系是；
$德优题库$
问题探究
（2）如图②，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上两点，且AC=BC，若BD=3，AD=9，求CD的长；
问题解决
（3）如图③是某公园的一个面积为36π m²的圆形广场示意图，点O为圆心，公园开发部门计划在该广场内设计一个四边形运动区域ABDC，连接BC、AD，其中等边△ABC为球类运动区域，△BCD为散步区域，设AD的长为x，△BDC的面积为S．
①求S与x之间的函数关系式；
②按照设计要求，发现当点D为

的中点时，布局设计最佳，求此时四边形运动区域ABDC的面积．

共享时间:2021-07-25 难度:5 相似度:1.11

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284169. （2023•西工大附中•二模）问题提出：
（1）如图①，已知线段AB，试在其上方确定一点C，使∠ACB＝90°，且△ABC的面积最大，请画出符合条件的△ABC．
问题探究：
（2）如图②，在矩形ABCD中，点E在BC边上，且BE＝3CE，连接DE、AE，若AE＝12，求△AED面积的最大值．
问题解决：
（3）某市新建成一迎宾广场，园林部门准备在“三•八”节前，用少量资金对广场一角进行绿化美化改造，以提升城市形象．根据地形特点，准备设计一个由三条线段AD、AB、BC及一段