问题探究如图在矩形中如果边上存在点使为等腰三角形那么请画出满足条件的一个等腰三角形并求出此时的长如图在中是边上的高分别为边的中点当时边上存在一点使求此时的长问题解决有一山庄它的平面图为如图的五边形山庄保卫人员想在线段上选一点安装监控装置用来监视边现只要使大约为就可

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850. （2014•陕西省•真题）问题探究
（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使△APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD，并求出此时BP的长；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长；
问题解决
（3）有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使∠AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使∠AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由．

共享时间:2014-09-18 难度:3

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[考点]

三角形中位线定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的判定与性质，特殊角的三角函数值，直线与圆的位置关系，圆的综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）①作AD的垂直平分线交BC于点P，如图①，
则PA=PD．
∴△PAD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°．
∵PA=PD，AB=DC，
∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．
∴BP=CP．
∵BC=4，
∴BP=CP=2．
②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P′，如图①，
则DA=DP′．
∴△P′AD是等腰三角形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．
∵AB=3，BC=4，
∴DC=3，DP′=4．
∴CP′=

．
∴BP′=4﹣

．
③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P″，如图①，
则AD=AP″．
∴△P″AD是等腰三角形．
同理可得：BP″=

．
综上所述：在等腰三角形△ADP中，
若PA=PD，则BP=2；
若DP=DA，则BP=4﹣

；
若AP=AD，则BP=

．

（2）∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=

BC．
∵BC=12，
∴EF=6．
以EF为直径作⊙O，过点O作OQ⊥BC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图②．
∵AD⊥BC，AD=6，
∴EF与BC之间的距离为3．
∴OQ=3
∴OQ=OE=3．
∴⊙O与BC相切，切点为Q．
∵EF为⊙O的直径，
∴∠EQF=90°．
过点E作EG⊥BC，垂足为G，如图②．
∵EG⊥BC，OQ⊥BC，
∴EG∥OQ．
∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，
∴四边形OEGQ是正方形．
∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．
∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，
∴BG=

．
∴BQ=GQ+BG=3+

．
∴当∠EQF=90°时，BQ的长为3+

．

（3）在线段CD上存在点M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB为边，在AB的右侧作等边三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足为P，作AK⊥BG，垂足为K．
设GP与AK交于点O，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，
过点O作OH⊥CD，垂足为H，如图③．
则⊙O是△ABG的外接圆，
∵△ABG是等边三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=

AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285﹣135=150．
∵△ABG是等边三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°
=135×

=45

．
∴OA=2OP=90

．
∴OH＜OA．
∴⊙O与CD相交，设交点为M，连接MA、MB，如图③．
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90

．．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90

，
∴HM=

=30

．
∵AE=400，OP=45

，
∴DH=400﹣45

．
若点M在点H的左边，则DM=DH+HM=400﹣45

+30

．
∵400﹣45

+30

＞340，
∴DM＞CD．
∴点M不在线段CD上，应舍去．
若点M在点H的右边，则DM=DH﹣HM=400﹣45

﹣30

．
∵400﹣45

﹣30

＜340，
∴DM＜CD．
∴点M在线段CD上．
综上所述：在线段CD上存在唯一的点M，使∠AMB=60°，
此时DM的长为（400﹣45

﹣30

）米．

[点评]

本题考查了"全等三角形的判定与性等边三角形的性质勾股定理三角形中位线定理矩形的性质正方形的判定与性质直线与圆的位置关系圆的综合题特殊角的三角函数值 "，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

921. （2017•陕西省•真题）问题提出
（1）如图①，△ABC是等边三角形，AB=12，若点O是△ABC的内心，则OA的长为　；
问题探究
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=12，AD=18，如果点P是AD边上一点，且AP=3，那么BC边上是否存在一点Q，使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
问题解决
（3）某城市街角有一草坪，草坪是由△ABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③所示．管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让喷灌龙头的转角正好等于∠AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB，然后再转回，这样往复喷灌．）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了．
如图③，已测出AB=24m，MB=10m，△AMB的面积为96m²；过弦AB的中点D作DE⊥AB交

于点E，又测得DE=8m．
请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结果保留根号或精确到0.01米）

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.56

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197991. （2024•交大附中•九上期中）如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3

，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE和EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：CE，CG，CD三条线段的长度之间是否存在某种固定的数量关系？若存在，请写出其中的关系式，并说明理由．

共享时间:2024-11-10 难度:3 相似度:1.33

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179582. （2024•爱知中学•八上期中） △ABC中，若AB＝BC＝AC，则这个三角形是等边三角形，小红和小顺在学习了直角三角形的相关知识后，利用课余时间又研究了等边三角形，如图1，她们发现等边三角形的高

，她们继续深入探究了以下问题：
在等边△ABC中，BD是等边△ABC的边AC上的高，P是射线DB上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE（A，P，E按逆时针排列）．

（1）如图2，当点P在线段BD上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是　　，BC与CE的位置关系是　　；
（2）若

，

，求PD的长．

共享时间:2024-11-19 难度:2 相似度:1.22

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24843. （2022•爱知中学•八下期中） $德优题库$ 已知：如图，△ABC为等边三角形，AE=BD，AD，CE相交于点F．
（1）求证：AD=CE；
（2）求∠AFC的度数；
（3）若CP⊥AD于P，PF=7，EF=2，求CE的长．

共享时间:2022-05-25 难度:2 相似度:1.22

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19248. （2016•西工大附中•模拟）如图，点E为矩形ABCD外一点，AE＝DE，连接EB、EC分别与AD相交于点F、G．求证：BE＝CE．

共享时间:2016-06-06 难度:3 相似度:1.22

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191792. （2024•远东二中•八下一月） $德优题库$ 如图所示，A、C、B三点共线，△DAC与△EBC都是等边三角形，AE、BD相交于点P，且分别与CD、CE交于点M，N．
（1）求证：△ACE≌△DCB
（2）求∠APD的度数

共享时间:2024-04-29 难度:2 相似度:1.22

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176119. （2024•西安八十九中•九上一月） $德优题库$ 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F．求证：AE=DF．

共享时间:2024-10-15 难度:2 相似度:1.22

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6039. （2017•铁一中学•模拟）已知如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE．
$德优题库$

共享时间:2017-05-30 难度:3 相似度:1.22

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199067. （2022•师大附中•八下期中） $德优题库$ 已知：如图等边三角形ABC中，D是AC中点，过C作CE∥AB，且AE⊥CE，求证：BD=AE．

共享时间:2022-05-21 难度:2 相似度:1.22

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190288. （2025•高新区•九上期末）计算：

．

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.11

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185672. （2024•滨河中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于E，BD=DF．
（1）求证：CF=EB．
（2）若∠BAD=20°，求∠CDF的度数．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.11

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190391. （2025•西工大附中•八上期末） $德优题库$ 已知：如图，AN⊥OB，BM⊥OA，垂足分别为N，M，OM=ON，BM与AN相交于点P．求证：PM=PN．

共享时间:2025-02-24 难度:1 相似度:1.11

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190318. （2025•高陵区•八上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，BC=5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD=BD=3，求AB，AC的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.11

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25804. （2024•西北大附中•一模）如图，在△ABD和△ACE中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
$德优题库$

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:1.11

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190299. （2025•高新区•九上期末） $德优题库$ 问题提出：
（1）如图1，在△ABO中，OA=OB=4，∠AOB=120°，⊙O半径为1，点P是⊙O上的动点．则P到AB的最小值为；
问题探究：
（2）如图2，在正方形ABCD中，找出所有的点P，使得∠BPC=60°；
（3）问题解决：
如图3，有一个矩形水池ABCD，已知BC=30m,AB=20m.设计者想把水池分为四部分，分别是三角形AED，三角形CED，三角形BEC，三角形AEB．满足BF⊥AG，BF=2EF，点E在AG上，G为BC上的任意一点．若三角形CED区域养鱼，其他区域养虾．已知养鱼每平方米1000元，养虾每平方米800元．请问花费的最少费用是多少？

共享时间:2025-02-02 难度:1 相似度:1.11

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时光温润

2014-09-18

初中数学 | | 解答题

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2014年陕西省中考数学试卷

更新:2014-09-18 06:03浏览量:1000

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