如图是线段上一动点不与重合分别以为边在的同侧作正方形和正方形问题提出如图连接则的值为问题探究如图求周长的最小值问题解决如图所示分别是的中点请问的周长是否存在最小值若存在请求出周长的最小值若不存在请说明理由的面积是否存在最大值若存在请求出面积的最大值若不存在请说明理由

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21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

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[考点]

配方法的应用，勾股定理，正方形的性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，设PA＝x，则PB＝8﹣x，
∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴PC＝

PA＝

x，PF＝

PB＝

（8﹣x），
∴PC+PF＝

（8﹣x）＝8

，
故答案为：8

．

（2）如图2中，设PA＝x，则PC＝

x，PF＝

（8﹣x），

∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴∠CPD＝∠EPF＝45°，
∴∠CPF＝90°，
∴CF＝

＝

＝2

，
∴△PCF的周长＝8

＝8

，
∴x＝4时，△PCF的周长最小，最小值＝8

+8．

（3）△PMN的周长存在最小值，面积存在最大值．
理由：如图3中，过点M作MJ⊥PA于J，过点N作NK⊥PB于K，延长CD交NK于G．设PA＝2y，则PB＝8﹣2y．

∵AC⊥MJ∥PD，CM＝DM，
∴AJ＝PJ＝y，
∵PE∥NK∥BF，EH＝NF，
∴PK＝BK＝4﹣y，
∵MJ＝AC＝2y，NK＝PB＝8﹣2y，
∴PM＝

PJ＝

y，PN＝

PK＝

（4﹣y），
∴PM+PN＝4

，
∵∠MJK＝∠JKG＝∠JMG＝90°，
∴四边形MJKG是矩形，
∴∠MGK＝∠MGN＝90°，
∴MG＝JK＝4，MJ＝GK＝2y，
∴NG＝NK﹣GK＝（8﹣2y）﹣2y＝8﹣4y，
∴MN＝

＝

＝4

，
∴△PNM的周长＝4

，
∴y＝2时，△PMN的周长最小，最小值为4

+4．
∵S_△PMN＝S_{四边形MJKN}﹣S_△PJM﹣S_△PNK＝

×8×4﹣

×y×2y﹣

×（4﹣y）×（8﹣2y）＝﹣2（y﹣2）²+8，
∵﹣2＜0，
∴y＝2时，△PMN的面积最大，最大值为8．

[点评]

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考常考题型．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

20480. （2020•铁一中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
$德优题库$
问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-07-27 难度:5 相似度:1.6

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198336. （2023•新城区•八上期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝

，以AB为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是45，求△ABC的周长．

共享时间:2023-11-15 难度:2 相似度:1.4

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179704. （2024•铁一中学•八上期中） $德优题库$ △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上．
（1）△ABC关于x轴对称的图形为△A₁B₁C₁（其中：A与A₁，B与B₁，C与C₁相对应），在图中画出△A₁B₁C₁；
（2）点P是x轴上一点，则AP+CP的最小值是．

共享时间:2024-11-13 难度:1 相似度:1.2

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175810. （2024•理工大附中•八上一月）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D．
求：（1）AC的长和△ABC的面积；（2）CD的长．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:1.2

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197475. （2024•爱知中学•九上期中）问题探究
（1）请在图1中过点A画一条直线，将△ABC分成面积相等的两部分；
（2）如图2，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，点E在AD的延长线上，且DE=2，过点E作直线l分别交边CD，AB于点M，N．若直线l将▱ABCD的面积平分，则请求出CM的长度；
问题解决
（3）某市为保护生态环境，方便市民观光游览，准备在秦岭北麓兴建一处“和谐观光园”，其形状为四边形ABCD，如图3所示．在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，实际长度AD=5公里，AB=9公里，BC=13公里，CD=15公里，点P在CD上且PD=5公里．根据用地需求，需在BC上确定点E，将五边形ABEPD作为特色植物繁育展示区，使其面积为四边形ABCD总面积的一半，并在AB上确定点F，在△PEF中修建游客休息区，剩余部分作为花卉展示区．为方便游客游览，要求修建PE、PF、EF三条观光道路的总长度最小．请问这样的△PEF是否存在？若存在，请求出点E到点B的距离及△PEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.2

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176019. （2024•西安二十三中•八上一月）如图，AD是△ABC的高，∠BAD＝45°，AC＝13cm，CD＝5cm．
求AD的长和△ABC的面积．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:1.2

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176099. （2024•西安八十三中•八上一月）（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．
甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的长度．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:1.2

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179104. （2024•陆港中学•八上期中）如图，在Rt△AOB和Rt△COD中，AB＝CD＝25，OB＝7，AC＝4．求BD的长．

共享时间:2024-11-25 难度:1 相似度:1.2

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179482. （2025•高新一中•八下期中）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．

Ων
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为　．
（2）如图3，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB...，快速地求出了阴影部分的周长为　　．
（3）如图4，已知四边形ABCD中，

，求四边形ABCD的面积．
（4）如图5，已知△BAC≌△CDE，且B、C、D在一条直线上，BA＝AC＝4，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点F满足CF＝CE且∠FCE＝90°+2α，连接EF．当α＝　　 °时，EF取得最大值，EF的最大值为　 .（注：点A、E、F均在直线BC上方）

共享时间:2025-05-19 难度:1 相似度:1.2

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179506. （2024•高新一中•八上期中） $德优题库$ 如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm,BD=CD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S（cm²）与运动时间t（s）的函数图象如图②所示．
（1）BC= cm；
（2）求点P在DC段上运动时，△BCP的面积S与运动时间t的函数关系式；
（3）当△BCP的面积为10cm²时，求t的值．

共享时间:2024-11-25 难度:1 相似度:1.2

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179557. （2024•爱知中学•九上期中）【问题提出】
（1）如图①，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，点E、F分别是AD、BC上的点，且EF平分菱形ABCD的面积，求EF的最小值．
【问题解决】
（2）如图②，m和n是两条平行的路，在两条路之间有一块四边形空地，即四边形ABCD．为了美化环境，市政府决定将这块空地改造为一个“口袋公园”，种植两种花卉．现在打算过点C修一条笔直的通道CE，交AD于点E，以方便市民观赏花卉．并要求通道两侧种植的两种花卉面积相等．经过测量，CD⊥n，垂足为点D，

，

，AD＝150m，

．如果将通道记为CE，请求出AE和通道CE的长（通道的宽度忽略不计）．

共享时间:2024-11-29 难度:1 相似度:1.2

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179624. （2024•西工大附中•九上期中）尺规作图，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

，

，请用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝2BD．（不写作法，保留作图痕迹）

共享时间:2024-11-22 难度:1 相似度:1.2

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179681. （2025•铁一中学•八下期中）在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图I，△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：他将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD，可得△PCD为等边三角形，故PC＝PD，由旋转可得PA＝DE，因此PA+PB+PC＝DE+PB+PD．
（1）由　　（数学依据）可知：PA+PB+PC的最小值与线段　　的长度相等，此时∠BPC＝　　 °．
（2）【类比应用】如图2，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中∠B＝90°，∠BAD＝105°，AB＝BC＝40米，

米．规划部门计划在等腰Rt△MNQ区域种植花卉，其中M、N是边AB、BC上的两个动点，且始终保持BM＝CN．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊．为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求出PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.2

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179784. （2025•交大附中•七下期中）在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件．
【阅读理解】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试探究AC、AB、AD的数量关系．
小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则得到△ADC≌△EDB，他所用到的判定定理是　　（用字母表示），从而得出BE＝AC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形的三边关系，即可得AC+AB 　　 2AD．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．
【应用提升】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥CD，

，若△ACD面积为21，求△BCD的面积．

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:1.2

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197230. （2025•西安一中•八下期中）问题提出
（1）如图1，在△ABC中，AD⊥BC．若AB=5，BD=3，CD=6，则AC= ．
问题探究
（2）如图2，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，且AC⊥BD．
求证：BC²+AD²=AB²+CD²．
问题解决
（3）如图3，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD，DE是两条小道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E．该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF，且满足EF=EC，∠AFE=90°．请根据上述条件，求骑行小道AF的长．
$德优题库$

共享时间:2025-05-16 难度:1 相似度:1.2

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2020-07-21

初中数学 | | 解答题

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2020年陕西省西安市铁一中学中考数学八模试卷

更新:2020-07-21 06:44浏览量:563

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