如图是线段上一动点不与重合分别以为边在的同侧作正方形和正方形问题提出如图连接则的值为问题探究如图求周长的最小值问题解决如图所示分别是的中点请问的周长是否存在最小值若存在请求出周长的最小值若不存在请说明理由的面积是否存在最大值若存在请求出面积的最大值若不存在请说明理由

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20480. （2020•铁一中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
$德优题库$
问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

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[考点]

二次函数的性质，勾股定理，正方形的性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，设PA＝x，则PB＝8﹣x，
∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴PC＝

PA＝

x，PF＝

PB＝

（8﹣x），
∴PC+PF＝

（8﹣x）＝8

，
故答案为：8

．

（2）如图2中，设PA＝x，则PC＝

x，PF＝

（8﹣x），

∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴∠CPD＝∠EPF＝45°，
∴∠CPF＝90°，
∴CF＝

＝

＝2

，
∴△PCF的周长＝8

＝8

，
∴x＝4时，△PCF的周长最小，最小值＝8

+8．

（3）△PMN的周长存在最小值，面积存在最大值．
理由：如图3中，过点M作MJ⊥PA于J，过点N作NK⊥PB于K，延长CD交NK于G．设PA＝2y，则PB＝8﹣2y．

∵AC⊥MJ∥PD，CM＝DM，
∴AJ＝PJ＝y，
∵PE∥NK∥BF，EH＝NF，
∴PK＝BK＝4﹣y，
∵MJ＝AC＝2y，NK＝PB＝8﹣2y，
∴PM＝

PJ＝

y，PN＝

PK＝

（4﹣y），
∴PM+PN＝4

，
∵∠MJK＝∠JKG＝∠JMG＝90°，
∴四边形MJKG是矩形，
∴∠MGK＝∠MGN＝90°，
∴MG＝JK＝4，MJ＝GK＝2y，
∴NG＝NK﹣GK＝（8﹣2y）﹣2y＝8﹣4y，
∴MN＝

＝

＝4

，
∴△PNM的周长＝4

，
∴y＝2时，△PMN的周长最小，最小值为4

+4．
∵S_△_PMN＝S_四边形_MJKN﹣S_△_PJM﹣S_△_PNK＝

×8×4﹣

×y×2y﹣

×（4﹣y）×（8﹣2y）＝﹣2（y﹣2）²+8，
∵﹣2＜0，
∴y＝2时，△PMN的面积最大，最大值为8．

[点评]

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考常考题型．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

共享时间:2020-07-21 难度:5 相似度:1.6

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198336. （2023•新城区•八上期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝

，以AB为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是45，求△ABC的周长．

共享时间:2023-11-15 难度:2 相似度:1.4

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.2

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181134. （2024•爱知中学•月考）问题提出：
（1）如图1，在一间黑暗的屋子里用一盏白炽灯照射正下方如图所示的球．已知球到灯和到地面的距离相等，且球的直径是40cm即AB＝40cm，则这个球在地面上的影子的面积是　　．（结果保留π）
问题探究：
（2）将两个全等的等腰直角三角形摆成如图2所示的样子（图中所有点、线都在同一平面内，点F、G在BC边上），若AC＝4，求FG的最小值，并证明你的结论．（结果保留根号）
问题解决：
（3）某地质勘察队，为了进行资源勘测，建立了一个四边形野外勘察基地ABCD，如图3所示，现在此勘察基地铺设了两条道路，DE，AC，并使得∠AFE＝∠ADC且CA⊥BA，现测得

米，CF＝AB＝600米，

，根据工作需要在点A处安装了一个可转动的照明灯，照明灯的两边缘光线夹角不变且与BC分别交于点G、H（受实际因素影响点G、H始终在BC边上），经过测量，∠B与∠GAH恰好互余，为了尽快完成勘察工作，勘察队需要夜间工作，那么夜间工作时，整个基地未被灯光A照到的盲区部分面积是否存在最大值？若存在，请求出最大面积是多少，如果不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-01 难度:1 相似度:1.2

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180297. （2023•逸翠园中学•八上二月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．
问题探究：

（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC，画出经过点A的△ABC的“和谐线段”；
（2）如图②，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，请求出分别经过A点，C点的△ABC的两条“和谐线段”的长；
问题解决：
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图．其中∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝2，CD＝10，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD的“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2023-12-10 难度:1 相似度:1.2

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180248. （2023•航天中学•八上二月）（1）如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，AD，CD，BC边上的动点，连接EG，HF相交于点P．且∠EPH＝∠A．
①填空：

＝　　．
②如图2，当四边形ABCD为长方形，AB＝4，BC＝6时，求

的值．
（2）如图3，这是某城市中央公园的设计示意图，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝0.8km，AD＝1km．公园设计师计划在公园内修建两条观光小路EG，FH（小路宽度不计，点E，F，G，H分别在AB，AD，CD，BC边上），根据实际需要，∠EPH＝∠A．若先修好的观光小路EG长为1.1km，则另一条观光小路FH多长？

共享时间:2023-12-26 难度:1 相似度:1.2

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179977. （2024•航天中学•七下期中）【问题背景】
（1）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
填空：①线段AD，BE之间的数量关系为；②∠AEB的度数为；
【问题探索】
（2）如图2，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，以CD为边作等腰直角三角形DCE，且∠DCE=90°，连接BE，若AD=2，BD=5，求△BDE的面积；
【问题解决】
（3）为了开展劳动实践教育，培养科学素养，实现多维学科融合．某校规划了一块如图3所示的四边形生物科学基地ABDC，经测量：∠ABC=90°，AB=BC，∠BDC=45°．连接AD，将基地分成两部分种植不同的植物，若△ACD的面积为8平方米，则线段CD的长度为多少？
$德优题库$

共享时间:2024-05-24 难度:1 相似度:1.2

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179951. （2024•陆港中学•八下期中） $德优题库$ 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10．
（1）求AE的长；
（2）求DE的长．

共享时间:2024-05-16 难度:1 相似度:1.2

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179906. （2024•爱知中学•八下期中）综合应用
综合与实践数学活动课上，王老师给出了一个问题：
（1）如图1，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转30°，得到Rt△A′B′C′，点B′恰好落在斜边AC上，连接AA′，则∠AA′B′＝　　．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC边上，BD＝2，CE＝3，且∠DAE＝45°，请你求出DE的长度．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝6，CD＝10，CF＝5，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，求线段BE的长．

共享时间:2024-05-12 难度:1 相似度:1.2

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181177. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，已知正方形ABCD，点E是AB边上的一点，连接ED．请用尺规作图的方法在线段DE上求作一点F，使得∠BEF+∠BCF=180°（不写作法，保留作图痕迹）．

共享时间:2023-01-10 难度:1 相似度:1.2

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179882. （2024•爱知中学•七下期中）阅读下面一代文字，结合文字完成问题．
数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化．
$德优题库$
观察上面拼图过程，计算图形面积写出相应等式
（2）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，BD=a,翻折△DEC，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时BD=b,计算梯形ABDE的面积S（S用含a,b的代数式表示）
$德优题库$
（3）如图3，某小区物业公司计划在小区绿化带的外部四个半圆里种植鲜花，内部直角梯形里铺草坪，直角梯形．ABDE中∠ABC=90°，△ABC≌△CDE，若外部四个半圆中鲜花种植总面积为25πa,△ABC中草坪铺设面积为24a,假设鲜花种植和草坪铺设密度不变，请你帮物业公司计算总共的草坪铺设面积是多少？小明在计算中发现AC²与AB²，BC²间存在某种数量关系，请计算AC²，写出小明“发现”的具体过程和它们之间的数量关系．

共享时间:2024-05-28 难度:1 相似度:1.2

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179834. （2025•西安八十三中•八下期中）【小试牛刀】
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠D＝30°，∠BAD+∠BCD＝　　；
【深入探究】
（2）在（1）的条件下，若

，CD＝2，连接BD，求出BD的长度；
爱思考的小李同学将△ABD绕点B顺时针旋转60°至△CBD′，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．
【学以致用】
（3）如图2，已知在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝30°，AB＝AD，

，连接AC，线段AC的长是否存在最小值，若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-13 难度:1 相似度:1.2

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179784. （2025•交大附中•七下期中）在本学期的数学探究学习中，同学们发现在利用全等三角形解决问题时存在有一些条件缺失（隐蔽）的问题，这时我们就要寻找题目中的等量条件，适当添加辅助线构造全等三角形来解决问题．如：“中点”、“角平分线”、相等的边或角等都可以成为我们构造全等三角形的条件．
【阅读理解】
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，试探究AC、AB、AD的数量关系．
小明在班内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，则得到△ADC≌△EDB，他所用到的判定定理是　　（用字母表示），从而得出BE＝AC．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中．利用三角形的三边关系，即可得AC+AB 　　 2AD．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【问题解决】
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：AD+BC＝AB．
【应用提升】
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AM⊥CD，

，若△ACD面积为21，求△BCD的面积．

共享时间:2025-05-12 难度:1 相似度:1.2

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179704. （2024•铁一中学•八上期中） $德优题库$ △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点都在格点上．
（1）△ABC关于x轴对称的图形为△A₁B₁C₁（其中：A与A₁，B与B₁，C与C₁相对应），在图中画出△A₁B₁C₁；
（2）点P是x轴上一点，则AP+CP的最小值是．

共享时间:2024-11-13 难度:1 相似度:1.2

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179681. （2025•铁一中学•八下期中）在综合与实践课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学探究活动．
【问题呈现】如图I，△ABC内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：他将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△EDC，连接PD，可得△PCD为等边三角形，故PC＝PD，由旋转可得PA＝DE，因此PA+PB+PC＝DE+PB+PD．
（1）由　　（数学依据）可知：PA+PB+PC的最小值与线段　　的长度相等，此时∠BPC＝　　 °．
（2）【类比应用】如图2，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝6，BC＝4，P为△ABC内一点，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
（3）【生活实际】如图3，是某新建公园的一块四边形空地，其中∠B＝90°，∠BAD＝105°，AB＝BC＝40米，

米．规划部门计划在等腰Rt△MNQ区域种植花卉，其中M、N是边AB、BC上的两个动点，且始终保持BM＝CN．同时为了方便市民观赏与休息，决定在这块空地内部的点P处建造一个凉亭，从P点分别向A、D、Q处修建文化长廊．为节约修建文化长廊的成本，不考虑其他因素，是否存在这样的点P，使得PA+PD+PQ最小，若存在，请求出PA+PD+PQ的最小值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-05-22 难度:1 相似度:1.2

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dcyx2021

2020-07-27

初中数学 | | 解答题

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2020年陕西省西安市铁一中学中考数学八模试卷

更新:2020-07-27 06:44浏览量:565

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