如图是线段上一动点不与重合分别以为边在的同侧作正方形和正方形问题提出如图连接则的值为问题探究如图求周长的最小值问题解决如图所示分别是的中点请问的周长是否存在最小值若存在请求出周长的最小值若不存在请说明理由的面积是否存在最大值若存在请求出面积的最大值若不存在请说明理由

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20480. （2020•铁一中学•八模）如图，AB=8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．
$德优题库$
问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为_________；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．

共享时间:2020-07-27 难度:5

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[考点]

二次函数的性质，勾股定理，正方形的性质，四边形综合题，四边形的面积最大值问题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图1中，设PA＝x，则PB＝8﹣x，
∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴PC＝

PA＝

x，PF＝

PB＝

（8﹣x），
∴PC+PF＝

（8﹣x）＝8

，
故答案为：8

．

（2）如图2中，设PA＝x，则PC＝

x，PF＝

（8﹣x），

∵四边形APDC，四边形PBEF都是正方形，
∴∠CPD＝∠EPF＝45°，
∴∠CPF＝90°，
∴CF＝

＝

＝2

，
∴△PCF的周长＝8

＝8

，
∴x＝4时，△PCF的周长最小，最小值＝8

+8．

（3）△PMN的周长存在最小值，面积存在最大值．
理由：如图3中，过点M作MJ⊥PA于J，过点N作NK⊥PB于K，延长CD交NK于G．设PA＝2y，则PB＝8﹣2y．

∵AC⊥MJ∥PD，CM＝DM，
∴AJ＝PJ＝y，
∵PE∥NK∥BF，EH＝NF，
∴PK＝BK＝4﹣y，
∵MJ＝AC＝2y，NK＝PB＝8﹣2y，
∴PM＝

PJ＝

y，PN＝

PK＝

（4﹣y），
∴PM+PN＝4

，
∵∠MJK＝∠JKG＝∠JMG＝90°，
∴四边形MJKG是矩形，
∴∠MGK＝∠MGN＝90°，
∴MG＝JK＝4，MJ＝GK＝2y，
∴NG＝NK﹣GK＝（8﹣2y）﹣2y＝8﹣4y，
∴MN＝

＝

＝4

，
∴△PNM的周长＝4

，
∴y＝2时，△PMN的周长最小，最小值为4

+4．
∵S_△_PMN＝S_四边形_MJKN﹣S_△_PJM﹣S_△_PNK＝

×8×4﹣

×y×2y﹣

×（4﹣y）×（8﹣2y）＝﹣2（y﹣2）²+8，
∵﹣2＜0，
∴y＝2时，△PMN的面积最大，最大值为8．

[点评]

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建二次函数解决问题，属于中考常考题型．

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

21440. （2020•铁一中学•八模）如图，AB＝8，P是线段AB上一动点（不与A、B重合），分别以AP、BP为边在AB的同侧作正方形APDC和正方形BPEF．

问题提出
（1）如图①，连接PC、PF，则PC+PF的值为　　；
问题探究
（2）如图②，求△PCF周长的最小值；
问题解决
（3）如图③所示，M、N分别是CD、EF的中点，请问△PMN的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．△PMN的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由。

共享时间:2020-07-21 难度:5 相似度:1.6

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198336. （2023•新城区•八上期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝

，以AB为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是45，求△ABC的周长．

共享时间:2023-11-15 难度:2 相似度:1.4

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172869. （2024•逸翠园中学•九上四月）若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”（例如圆的直径就是圆的“和谐线段”）
问题探究：
（1）如图①，已知△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝90°，请写出△ABC的两条“和谐线段”的长．
（2）如图②，平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°，请直接写出该平行四边形ABCD的“和谐线段”长的最大值和最小值；
问题解决
（3）如图③，四边形ABCD是某市规划中的商业区示意图，其中AB＝2，CD＝10，∠A＝135°，∠B＝90°，tanC＝

，现计划在商业区内修一条笔直的单行道MN（小道的宽度不计），入口M在BC上，出口N在CD上，使得MN为四边形ABCD“和谐线段”，在道路一侧△MNC区域规划为公园，为了美观要求△MNC是以CM为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点M的位置（即求CM的长）．

共享时间:2024-01-28 难度:1 相似度:1.2

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172565. （2024•师大附中•八上二月）如图，四边形OABC是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O与坐标原点重合，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（16，24），D的坐标为（10，24）．现将纸片沿过D点的直线折叠，使顶点C落在线段AB上的点F处，折痕与y轴的交点记为E．
（1）求点F的坐标；
（2）在x轴上是否存在点Q，满足S_△QDE=S_△CDE，若存在，求出点Q坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点P在直线DE上，且△PAE为直角三角形，请直接写出点P的坐标． $德优题库$

共享时间:2024-12-11 难度:1 相似度:1.2

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172681. （2024•长安区•八上一月）已知直角三角形的一条直角边的长是7cm，斜边的长是9cm，求另一条直角边的长．

共享时间:2024-10-19 难度:1 相似度:1.2

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191817. （2023•经开一中•九上二月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
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共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.2

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172692. （2024•长安区•八上一月）【定义】我们定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
【感知】（1）若△ABC三边长分别是2，2

和

，判断此三角形是否奇异三角形，说明理由；
【思考】已知Rt△ABC中，两边长分别是5，5

，若这个三角形是奇异三角形，则第三边长是　5

　；
【运用】若Rt△ABC是奇异三角形，直角边为a、b（a＜b），斜边为c，求a：b：c的值．（比值从小到大排列）
【创新】如图，以AB为斜边分别在AB的两侧作直角三角形，且AD＝BD，若四边形ADBC内存在点E，使得AE＝AD，CB＝CE．试说明：△ACE是奇异三角形．

共享时间:2024-10-19 难度:1 相似度:1.2

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172711. （2024•长安区•八上四月）在△ACB中，∠ACB＝90°．
（1）已知a＝6，b＝8，求c的值；
（2）已知AB＝10，AC＝9，求BC的值．

共享时间:2024-01-27 难度:1 相似度:1.2

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190594. （2025•交大附中•九上期末）【问题初探】
如图1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为　　；
【应用拓展】
某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，在校园开辟了一块劳动田．已知劳动田为如图2所示的四边形ABCD，经测量，∠B＝30°，∠C＝60°，AB＝75m，BC＝100m，CD＝40m．现在学校计划在劳动田内设计一个三角形的花圃△EMF，E、F在BC边上．为保证整体设计美观实用，要求BE＝CF＝40m，且满足∠EMF＝60°．为了给学生提供休息区域，计划在AB边上建造凉亭N和两条小路DN及NM．两条小路的长度之和是否存在最小值？若存在，求出最小值，并计算凉亭N到点B的距离；若不存在，请说明理由．（参考数据：

，

）

共享时间:2025-02-14 难度:1 相似度:1.2

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190515. （2025•碑林区•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+mx+3经过点M（-1，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标．
（2）当-3≤x≤0时，y的取值范围是．

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.2

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172793. （2024•曲江一中•九上一月）（1）如图1，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为；
$德优题库$
（2）如图2，在一块斜边长为35厘米的直角三角形木板（即Rt△ABC）中截取一个正方形CDEF，点D在边AC上，点E在边AB上，点F在边BC上，若AE=15，求这块木板截取正方形CDEF后剩余部分的面积；
（3）如图3，某施工队要给一片四边形土地播撒绿植，每平米绿植100元．已知在四边形土地ABCD中，AD=40m,CD=30m,∠ABC+∠ADC=90°，若△ABC为等边三角形，求播撒这片四边形土地ABCD共需要多少钱？

共享时间:2024-10-11 难度:1 相似度:1.2

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190494. （2025•碑林区•九上期末）【问题提出】
（1）如图1，AD与BE相交于点C，连接AB，DE，∠A＝∠E，

，若AB的长为21，求DE的长；
【问题解决】
（2）如图2，四边形ABCD是一个植物园的花卉区，经测量，AB＝BC＝CD＝AD，工作人员计划将该花卉区进行扩建，在对角线AC上取一点E，在边BC的延长线上取一点F，连接BE，EF，DF，EF与CD交于点G，根据工作人员的规划要求，BE与EF相等，EF与CD互相垂直，在扩建部分（△CDF区域内）新增加一种花卉，请你判断∠CDF与∠ADC之间的数量关系，并说明理由．

共享时间:2025-02-05 难度:1 相似度:1.2

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172516. （2024•师大附中•九上二月）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，AB＝BC，点D、E、F分别在△ABC的三边上．若四边形BEDF为正方形，AB＝4，则DE＝　2　．

问题探究
（2）如图②，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，正方形DEFG和正方形FHIJ在△ABC内部，点D在边AB上，点I在边AC上，点E、F、J在边BC上，若AB＝5，BE＝

IJ，求正方形FHIJ的边长．
问题解决
（3）如图③，是某种植户的一处近似等边三角形的空闲农田，为了赶上6月份水稻的种植，该种植户要在此处规划出两块正方形水稻田，其余地方用于修建鱼塘养鱼．已知在等边△ABC中，

，正方形DEFG和正方形FHIJ的点E、F、J依次为边BC上的点，点D和点I分别在边AB，AC上，记正方形DEFG的面积为S₁，正方形FHIJ的面积为S₂，若S＝S₁+S₂，求S的最大值．

共享时间:2024-12-22 难度:1 相似度:1.2

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173214. （2024•西光中学•九上二月）【初步探究】
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE、EF．已知四边形BFED是平行四边形，BC＝4DE．
①若AB＝8，求线段AD的长；
②若△ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．
【深入探究】
（2）如图2，某工厂有一块形如四边形ABCD的铁皮，其中∠A＝∠B＝90°，AD＝8dm，AB＝20dm，BC＝24dm．为节约资源，现要从这块铁皮上截取矩形铁皮BEFG（阴影部分）备用，点E、F、G分别在AB、CD、BC上．设矩形铁皮的边FG＝x（dm），矩形BEFG的面积为S，求出S与x之间的函数关系式，并求矩形BEFG面积的最大值．

共享时间:2024-12-10 难度:1 相似度:1.2

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173287. （2024•西光中学•八上二月）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠A＝90°，∠CBD＝30°，∠C＝45°，如果AB＝

，求CD的长．

共享时间:2024-12-17 难度:1 相似度:1.2

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2020-07-27

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2020年陕西省西安市铁一中学中考数学八模试卷

更新:2020-07-27 06:44浏览量:589

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