问题提出如图已知直线及外一点试在直线上确定两点使并画出这个问题探究如图是边长为的正方形的对称中心是边上的中点连接试在正方形的边上确定点使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分求点到点的距离问题解决如图有一个矩形花园根据设计要求点在对角线上且并在四边形区域内种植一种红色花卉在矩形

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782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

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[考点]

矩形的性质，正方形的性质，四边形综合题，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）如图①所示，Rt△ABC即为所求．（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）；

（2）如图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
∴S_△_BOM＝

×28²＜

×28²，
∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
∴设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得

（BN+14）×14＝

×28²，
解之，得BN＝2．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2．
∴MN＝

＝10

．

（3）如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，

在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝

＝

＝50，
∵

•AB•AD＝

•BD•AH，
∴AH＝24，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S_△_AEF＝S_△_CEF，
∴S_四边形_AECF＝2S_△_AEF＝2×

×EF•AH＝24EF，
由题意可知，只有S_四边形_AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S_四边形_AECF最小，就需EF最短，
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝

＜

，tan∠BAH＝tan∠ADB＝

＜

，
∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴E、F两点分布在AH异侧．
∴△AEF为锐角三角形，
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°，
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝

OG，
∴EF＝2

OG，
又∵OA+OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG+OG≥24，得OG≥8，
∴EF＝2

OG≥16

，
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16

，
∴EH＝8

＜18＝BH，FH＝8

＜32＝HD，
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上，
∴S_四边形_AECF的最小值为24×16

＝384

，
∴384

×210+（30×40﹣384

）×180＝216000+11520

≈235584（元）．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．

[点评]

本题考查了"矩形的性质正方形的性质四边形综合题 "，属于"压轴题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

652. （2019•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.75

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196776. （2024•铁一中学•七上期末） $德优题库$ 如图，小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少？

共享时间:2024-02-16 难度:2 相似度:1.67

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82690. （2024•铁一中学•七上期末） $德优题库$ 如图，小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少？

共享时间:2024-02-13 难度:2 相似度:1.67

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197847. （2024•铁一中学•八上期中） $德优题库$ 长方形ABCD中嵌入了如图2所示的5个相同的正方形和一个三角形，E，F，G，H分别在长方形的边AB，BC，CD和DA上．已知AB=22m,BC=20m,求嵌入图形的总面积．

共享时间:2024-11-20 难度:2 相似度:1.67

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441. （2016•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，在△ABC中，BC＝6，D为BC上一点，AD＝4，则△ABC面积的最大值是　　．
问题探究
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
问题解决
（3）如图③，△ABC是葛叔叔家的菜地示意图，其中AB＝30米，BC＝40米，AC＝50米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形ABCD，且满足∠ADC＝60°．你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:1.34

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212524. （2025•西工大附中•一模）（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，其中对角线BD长为20cm,AC长为15cm,垂足为E，则四边形ABCD的面积为 cm²．
（2）如图2，矩形ABCD中，AD=6cm,AB=4cm,EF∥AD，点G，H分别是BC，AD上任一点，求四边形EGFH的面积．
（3）如图3，四边形ABCD放在了一组平行线中，已知BD=6cm,四边形ABCD的面积为24cm²，则相邻两条平行线间的距离为多少厘米．
$德优题库$

共享时间:2025-03-05 难度:1 相似度:1.33

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176099. （2024•西安八十三中•八上一月）（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD，连接BD、CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm，BC＝3cm，∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°，求BD的长．
甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和△ABD全等的三角形，将BD进行转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算．
（3）如图3，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求CD的长度．

共享时间:2024-10-18 难度:1 相似度:1.33

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196310. （2024•高新一中•九上期末）问题提出：
（1）如图①，已知△ABC是面积为

的等边三角形，AD是∠BAC的平分线，则AB的长为　　．
问题探究：
（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝4，点D为AB的中点，点E，F分别在边AC，BC上，且∠EDF＝90°．证明：DE＝DF．
问题解决：
（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P，Q分别在AD，BC上，连接PQ、PB、PC，∠BPC＝60°，E、F分别在PB、PC上，连接QE、QF，QE＝QF，∠EQF＝120°，其中四边形PEQF种植玫瑰，△ABP和△PCD种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF的面积为

，为了节约成本，矩形花园ABCD的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD的最小面积，若不存在，请说明理由．

共享时间:2024-02-28 难度:1 相似度:1.33

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175627. （2024•理工大附中•九上一月）【问题提出】
（1）如图①，矩形DEFG的四个顶点都在△ABC的三条边上，其中S_△ABC=15，BC=6，DE=4，求矩形DEFG的面积；
【问题解决】
（2）小红同学参加了物理课外兴趣小组．图②是其制作的一个光电感应装置在某时刻的平面情景图，在边长为20cm的正方形ABCD中，P为AB的中点，点P位置是一个激光发射器，可以左右来回180°转动，同时在正方形ABCD内发出两条互相垂直的蓝色光线PE、PF，点E、F是落在AD、DC、CB三边上的两个光点，E、F、P三点会在正方形ABCD内自动感应出一个发光△PEF，请问在激光器转动发射的过程中，形成的△PEF面积有无最大值，如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-10-13 难度:1 相似度:1.33

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175857. （2024•交大附中•九上一月）如图，已知矩形ABCD，请用尺规作图法，在对角线AC上求作一点P，使△DPA∽△ABC．（保留作图痕迹，不写作法）

共享时间:2024-10-30 难度:1 相似度:1.33

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196210. （2024•师大附中•八下期末）（1）【探究发现】如图1，P是等边△ABC内一点，PA＝4，PB＝3，PC＝5．求∠APB的度数．

解：将△BPC绕点B逆时针旋转60°到△BP′A的位置，连接PP′
则△BPP′是　　三角形．
∴PP′＝PB＝3
又∵PA＝4，P′A＝PC＝5
∴PP'²+PA²＝P'A²
∴△PP′A为直角三角形
∴∠APB的度数为　　．
（2）【类比延伸】如图2，在正方形ABCD内部有一点P，连接PA、PB、PC，若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的长；
（3）【拓展迁移】如图3，在正六边形ABCDEF内部有一点P，若PA＝4，PB＝2，

，请直接写出∠APB的度数及正六边形的边长．

共享时间:2024-07-01 难度:1 相似度:1.33

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196034. （2025•鄠邑区•九上期末）【提出问题】（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，∠EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠EOF＝90°，将∠EOF绕点O旋转，∠EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，点D不重合），求出四边形OECF的面积；
【问题解决】（2）如图2，一个菱形菜园ABCD，AC，BD为人行步道，且交于点O．要在菜园的下方建一四边形储藏间OECF，已知点E在BC上，点F在CD上，∠ABC＝∠EOF＝60°．若四边形储藏间OECF的占地面积为

（人行步道的面积忽略不计），要在菱形菜园ABCD围一圈篱笆，则需要篱笆多少m？

共享时间:2025-02-28 难度:1 相似度:1.33

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179482. （2025•高新一中•八下期中）平移、旋转与翻折是几何变换中的三种基本变换，也是初中课程中十分重要的学习内容，平移、旋转与翻折只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，因此我们又称这三种变换为全等变换．小明发现，在解决一些数学问题时，可以利用这三种变换使得问题简单化．

Ων
（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为3，点E、H在对角线AC上，点F、I在BC边上，点G、J在CD边上，且EG∥HJ∥AD，EF∥HI∥AB，求阴影部分的面积；
小明将正方形沿AC翻折，得到如图2所示的△ABC，他发现图1中阴影部分的面积就等于图2中△ABC的面积，所以图1中阴影部分的面积为　．
（2）如图3，已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD上，且FH∥BC，EG∥AB，EG与FH交于点I，求阴影部分的周长；小明将FI平移到BG，IG平移到FB...，快速地求出了阴影部分的周长为　　．
（3）如图4，已知四边形ABCD中，

，求四边形ABCD的面积．
（4）如图5，已知△BAC≌△CDE，且B、C、D在一条直线上，BA＝AC＝4，设∠ACB＝α，直线BC上方有一点F满足CF＝CE且∠FCE＝90°+2α，连接EF．当α＝　　 °时，EF取得最大值，EF的最大值为　 .（注：点A、E、F均在直线BC上方）

共享时间:2025-05-19 难度:1 相似度:1.33

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195879. （2025•曲江一中•九上期末） $德优题库$
问题提出
（1）如图1，在菱形ABCD中，∠B=30°，AB=8，E是AB的中点，点F在AD上且AF=5，求五边形BCDFE的面积．
问题解决
（2）为了优化美化人居生态环境．如图2所示，某城市现规划建一个五边形公园，记为五边形ABCDE．按设计要求，要在公园内挖一个四边形人工湖记为四边形ONMP，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO=2AN=2CP，AM=OC．已知五边形ABCDE中，∠A=∠C=150°，∠B=30°，AB=BC=800m,AE=700m,CD=600m,为了安全起见，AM＜AE，PD＜CD．满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．是否存在符合设计要求的面积最小的四边形ONMP？若存在，求出面积最小值及这时AN的距离；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-13 难度:1 相似度:1.33

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193010. （2023•西安二十三中•九上二月）如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．
（1）将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段，；S_矩形AEFG：S_▱ABCD= ．
（2）平行四边形ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求AD的长．
（3）如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD＜BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD、BC的长．
$德优题库$

共享时间:2023-12-22 难度:1 相似度:1.33

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亦世凡华

2019-07-10

初中数学 | | 解答题

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2019年陕西省中考数学试卷（副卷）

更新:2019-07-10 06:34浏览量:1096

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