问题提出如图已知直线及外一点试在直线上确定两点使并画出这个问题探究如图是边长为的正方形的对称中心是边上的中点连接试在正方形的边上确定点使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分求点到点的距离问题解决如图有一个矩形花园根据设计要求点在对角线上且并在四边形区域内种植一种红色花卉在矩形

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652. （2019•陕西省•副题）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

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[考点]

三角形的面积，矩形的性质，正方形的性质，四边形综合题，

[答案]

答案如下

[解析]

解：（1）如图①所示，Rt△ABC即为所求．（只要画出一个符合要求的Rt△ABC即可）；

（2）如图②，∵O是正方形ABCD的对称中心，且BM＝CM，
∴S_△_BOM＝

×28²＜

×28²，
∴点N不可能在BM上，由对称性，可知点N也不可能在MC上，
显然，点N不在AD边上，
∴设点N在AB边上，连接ON．
由题意，得

（BN+14）×14＝

×28²，
解之，得BN＝2．
由对称性知，当点N在CD边上时，可得CN＝2．
∴MN＝

＝10

．

（3）如图③所示，过点A作AH⊥BD于点H，

在Rt△ABD中，∵∠BAD＝90°，AB＝30，AD＝40，
∴BD＝

＝

＝50，
∵

•AB•AD＝

•BD•AH，
∴AH＝24，
∵四边形ABCD是矩形，
∴S_△_AEF＝S_△_CEF，
∴S_四边形_AECF＝2S_△_AEF＝2×

×EF•AH＝24EF，
由题意可知，只有S_四边形_AECF最小时，按设计要求在矩形ABCD内种植红、黄两种花卉的费用最低．
要使S_四边形_AECF最小，就需EF最短，
∵AH⊥EF，tan∠HAD＝tan∠ABD＝

＜

，tan∠BAH＝tan∠ADB＝

＜

，
∴∠HAD＜60°，∠BAH＜60°，
又∵∠EAF＝60°，
∴E、F两点分布在AH异侧．
∴△AEF为锐角三角形，
作其中任一锐角△AEF的外接圆⊙O，过O作OG⊥EF于点G，连接OA、OF，则EF＝2GF，∠GOF＝∠EAF＝60°，
在Rt△OGF中，OF＝2OG，GF＝

OG，
∴EF＝2

OG，
又∵OA+OG≥AH，OA＝OF＝2OG，
∴2OG+OG≥24，得OG≥8，
∴EF＝2

OG≥16

，
∴当圆心O在AH上，即AE＝AF时，EF＝16

，
∴EH＝8

＜18＝BH，FH＝8

＜32＝HD，
∴当AE＝AF时，点E、F在BD上，
∴S_四边形_AECF的最小值为24×16

＝384

，
∴384

×210+（30×40﹣384

）×180＝216000+11520

≈235584（元）．
∴按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用约为235584元．

[点评]

本题考查了"三角形的面积矩形的性质正方形的性质四边形综合题 "，属于"压轴题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

782. （2019•陕西省•暑假）问题提出
（1）如图①，已知直线l及l外一点A，试在直线l上确定B、C两点，使∠BAC＝90°，并画出这个Rt△ABC．
问题探究
（2）如图②，O是边长为28的正方形ABCD的对称中心，M是BC边上的中点，连接OM．试在正方形ABCD的边上确定点N，使线段ON和OM将正方形ABCD分割成面积之比为1：6的两部分．求点N到点M的距离．
问题解决
（3）如图③，有一个矩形花园ABCD，AB＝30m，BC＝40m．根据设计要求，点E、F在对角线BD上，且∠EAF＝60°，并在四边形区域AECF内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：

≈1.4，

≈1.7）

共享时间:2019-07-10 难度:5 相似度:1.75

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190212. （2025•经开区•八上期末） $德优题库$ 如图，在长方形ABCD中，AB=5cm,BC=7cm,点P是边BC上一动点（不与点C重合），点Q是边AD上任意一点．点P从点B出发沿BC向点C以3cm/s的速度运动．求△QPC的面积y（cm²）与点P的运动时间x（s）之间的关系式．

共享时间:2025-02-04 难度:2 相似度:1.5

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179555. （2024•爱知中学•九上期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD＝BE；
（2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．

共享时间:2024-11-29 难度:2 相似度:1.5

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192863. （2024•航天中学•八下一月）（1）如图①，在△ABC中，BC=6，D为BC上一点，AD=4，则△ABC面积的最大值是．
（2）如图②，已知矩形ABCD的周长为12，求矩形ABCD面积的最大值．
$德优题库$

共享时间:2024-04-10 难度:2 相似度:1.5

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196776. （2024•铁一中学•七上期末） $德优题库$ 如图，小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少？

共享时间:2024-02-16 难度:2 相似度:1.5

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197847. （2024•铁一中学•八上期中） $德优题库$ 长方形ABCD中嵌入了如图2所示的5个相同的正方形和一个三角形，E，F，G，H分别在长方形的边AB，BC，CD和DA上．已知AB=22m,BC=20m,求嵌入图形的总面积．

共享时间:2024-11-20 难度:2 相似度:1.5

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82690. （2024•铁一中学•七上期末） $德优题库$ 如图，小明将一个正方形ABCD纸片剪去一个宽HD=6cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽AE=8cm的长条，如果两次剪下的长条面积正好相等，那么剩余纸片四边形EBFG的面积为多少？

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192228. （2024•高新三中•八下二月）问题提出：
（1）如图1，在△ABC中，BC=4，点D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为；
问题探究：
（2）如图2，在△ABC中，∠B=60°，点Q在BC上，CQ=12，点P在AB上，AP=4，连接PQ，E、F分别为AC、PQ的中点，求EF的长度？
问题解决：
（3）西安高新区为了进一步提升周边居民的居住环境，拟在一个长方形的草坪ABCD内对角线AC右侧修建一个三角形池塘△CMN．如图3，∠BAC=64°，∠MCN=26°，∠MNC=90°，A为草坪入口，B为草坪出口，在人行道AM的中点E处有一个凉亭，在池塘N处是一个观景台．游客从凉亭到出口的距离与从凉亭到观景台的距离相等吗？为什么？
$德优题库$

共享时间:2024-06-15 难度:1 相似度:1.25

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192605. （2024•翱翔中学•七下一月）发现问题：
（1）如图①，小明在一张纸上画了一条线段PO，他把PO绕点O顺时针方向旋转60°得到线段OQ，连接PQ，通过查资料学习知道了△OPQ为等边三角形，然后他找到OP上一点H，把△OPQ沿QH折叠，发现两侧能完全重合，由此得到以下关系式：
PH OH；PQ QH．（填=，＞，＜）；
探究问题：
（2）如图②，在四边形ABCD中，连接AC，E为AD上一点，AC与BE互相平分，且交于点F，已知△ACD的面积为80，AD=10，求BE的最小值；
解决问题：
（3）如图③，某市文旅部门拟在黄河沿岸围建一个正方形的湿地公园ABCD，AB=13km,点E为AB上一个休息驿站，BE=3km,F为BC上任意一点，根据实际情况，计划设计一个等边△EFG的停车区域，A为入口，让车辆沿AG驶入到停车区，F为出口，若修建一定宽度的公路每公里10万元，请问修建AG路段的费用有无最小值？若有请求出；若没有请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2024-04-25 难度:1 相似度:1.25

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192372. （2024•西工大附中•七下二月）问题提出
（1）如图①，四边形ABCD中，E在CD边上，AD=AE、AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，连结BE交AC于点P，若∠BPC=75°；则∠BCD= ．
问题探究
（2）如图②，已知等边三角形ABC，AB=8，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=9，求四边形APBC的周长．
问题解决
（3）某市园林绿化部门为提升城市形象，绿化美化环境，拟在富样路一拆迁后的空地上新建一个家门口的“口袋公园”，设计形状大致为四边形ABCD，如图③所示．其中AB∥CD，∠C=90°，BC=CD，AD段临街道有足够长度，E是小道AB上某小区的入口（点E不在点B处），且AE=200米，设计人员准备将公园分成△ADE，△BDE与△BCD三大部分，F是△ADE内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠AEF=∠DAF=45°，AF⊥DF，△ADE内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约5元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需28000元，△BCD内部种植月季等花卉，平均每平方米约需8元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
$德优题库$

共享时间:2024-06-28 难度:1 相似度:1.25

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192301. （2023•高新一中•九上一月）问题提出
（1）如图1，在Rt△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，P为此三角形内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，将△CPB绕点C沿顺时针方向旋转90°至△CQA，则∠BPC的度数为．
问题探究
（2）如图2，在四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，探究线段AD、BD、CD之间的数量关系并写出解答过程．
问题解决
（3）如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图，已知四边形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AC=BC，AB=70m,DC平分∠ADB交AB于点P，PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F．按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，若AP的长为30m,则阴影部分的面积为 m²．
$德优题库$

共享时间:2023-10-28 难度:1 相似度:1.25

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192295. （2023•高新一中•九上一月） $德优题库$ 如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F（保留作图痕迹，不写作法和证明）；
（2）连接BE、DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．

共享时间:2023-10-28 难度:1 相似度:1.25

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191866. （2024•经开一校(原经发)•八下一月）【问题引出】
（1）如图1．在△ABC中，AB=BC=5，AC=8，若D为AC边上一点，BD平分△ABC的面积，则BD的长为．
【问题延伸】
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点D在BC边上，且BD=1，若P为AC边上一点，DP平分△ABC 的面积，求AP的长．
【问题拓展】
（3）如图3，四边形OABC在平面直角坐标系中，点A，B在第一象限，点C在x轴上，已知∠AOC=60°，∠OAB=150°．∠ABC=120°．OA=2，OC=10．若P为OC边上一点．且BP平分四边形OABC的面积，求点P的坐标．
$德优题库$

共享时间:2024-04-13 难度:1 相似度:1.25

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192152. （2024•高新一中•八下一月）【问题出示】
（1）如图①，等腰△ABC中，∠BAC=30°，BC=BA=16，点M是直线AC上的动点，线段BM的最小值是．
$德优题库$
【问题探究】
（2）如图②，线段BM最短时，在（1）的条件下，线段BN是△ABM的角平分线，点P、Q分别在边BN、BM上运动，连接MP、QP，MP+QP的最小值是
【问题拓展】
（3）如图③，线段BM最短时，在（1）的条件下，点E在边CM上运动，连接BE，将线段BE绕点B顺时针旋转60°，得到线段BF，连接MF，求线段MF的最小值．
【问题解决】
按照住建部制定的楼间距国家标准，南北朝向的小区，各栋楼之间的距离不小于前排楼高的0.7倍，例如：前排房屋的楼高是20米，那么后排房屋与前排房屋的距离至少要14米才符合要求．
（4）如图④，是某居民小区的部分平面示意图，四边形ABCD各边长都为90米，且两组对边分别平行，∠B=120°，DE长30米，AB边上任意一点F，计划在线段EF、FG、DG上修建三条小路，点G处修建业主活动楼，其中EF=FG，且∠EFG=60°．小区最南边一排（即线段AD处）楼高70米，当线段DG取最小值时，点G处的业主活动楼到线段AD处楼房的距离是否符合楼间距标准？请说明理由．

共享时间:2024-04-21 难度:1 相似度:1.25

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192052. （2023•陆港中学•七上二月）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点P从点A开始以2cm/s的速度沿A→B→C的方向移动，点Q从点C开始以1cm/s的速度沿C→A→B的方向移动．若AB＝16cm，AC＝12cm，BC＝20cm，已知点P，Q同时出发，设运动时间为t秒．
（1）如图①，若点P在线段AB上运动，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，QA＝AP；
（2）如图②，点Q在线段CA上运动，当t为何值时，△QAB的面积等于△ABC面积的

；
（3）当点P到达点C时，P、Q两点都停止运动，当t为何值时，AQ＝BP．

共享时间:2023-12-12 难度:1 相似度:1.25

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艺黎

2019-07-10

初中数学 | | 解答题

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2019陕西中考数学试卷（副题）

更新:2019-07-10 06:33浏览量:2221

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