已知二次函数经过两点垂直轴于点且求抛物线的解析式请画出抛物线的图象点是抛物线对称轴上一个动点是否存在这样的点使三角形为直角三角形若存在求出点坐标若不存在请说明理由

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4

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[考点]

解一元二次方程，求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的动点问题，二次函数综合应用，勾股定理，

[校正]

[答案]

（1）y=x²-2x-3；（2）见解答；（3）存在，点P的坐标为（1，8）或（1，-2）或（1，6）或（1，-1）．

[解析]

解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），
∴AC＝5，OC＝4，
∵AC＝BC＝5，
∴B（4，5），
把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x²+bx+c中得：

，解得

，
∴二次函数的解析式为：y＝x²﹣2x﹣3；

（2）由函数的表达式，取值列表如下：

根据表格数据，绘制函数图象如下：

（3）存在，
y＝x²﹣2x﹣3＝（x﹣1）²﹣4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB²+AB²＝PA²，
∴（4﹣1）²+（m﹣5）²+（4+1）²+5²＝（1+1）²+m²，
解得：m＝8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA²+AB²＝PB²，
∴（1+1）²+m²+（4+1）²+5²＝（4﹣1）²+（m﹣5）²，
解得：m＝﹣2，
∴P（1，﹣2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB²+PA²＝BA²，
∴（1+1）²+m²+（4﹣1）²+（m﹣5）²＝（4+1）²+5²，
解得：m＝6或﹣1，
∴P（1，6）或（1，﹣1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．

[点评]

本题考查了"解一元二次方程,求二次函数的解析式,二次函数的性质,二次函数的动点问题,二次函数综合应用,勾股定理"，属于"综合题"，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解本题的关键．

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.67

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2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.67

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1.34

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.34

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.34

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.34

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6319. （2017•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

共享时间:2017-06-26 难度:4 相似度:1.34

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.25

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.17

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.17

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359. （2012•红星高中•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:1.17

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20185. （2021•西工大附中•五模）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax²+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17

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19062. （2016•交大附中•模拟）如图，已知抛物线C₁经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C₁的函数表达式．
（2）抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，求抛物线C₂的函数表达式．
（3）P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-06-21 难度:4 相似度:1.17

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274160. （2024•铁一中学•二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：

	甲	乙
进价（元/件）	15	35
售价（元/件）	20	45

（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请求出获利最大的购货方案．

共享时间:2024-03-26 难度:1 相似度:1.17

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6219. （2017•西工大附中•一模）如图，抛物线W：y=-x²+bx+c交x轴于点A（-3，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点记为D．
（1）求抛物线W的函数表达式及顶点D的坐标．
（2）连接AC，若线段AC上有一点P，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长的最大值．
（3）在（2）中，当PQ的长最大时，将该抛物线平移，设平移后的抛物线为W′，抛物线W′的顶点记为D′，它的对称轴与x轴交于点E′．怎样平移才能使得以P、Q、D′、E′为顶点的四边形是菱形？
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共享时间:2017-02-28 难度:4 相似度:1.17

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yxzx2021

2021-06-18

初中数学 | | 解答题

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2021年陕西省西安市莲湖区益新中学中考数学五模试卷

更新:2021-06-18 09:23浏览量:718

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