如图在平面直角坐标系中二次函数的图象经过点顶点为求这个二次函数的解析式及顶点坐标在轴上找一点点与点不重合使得求点坐标在的条件下将沿直线翻折得到求点坐标

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6319. （2017•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

共享时间:2017-06-26 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数与对称问题，二次函数的动点问题，二次函数综合应用，勾股定理，相似三角形的判定与性质，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）由题意，得

，…（1分）
解得

…（1分）
所以这个二次函数的解析式为y＝x²﹣2x﹣3…（1分）
顶点D的坐标为（1，﹣4）…（1分）
（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA＝

，PD＝

，AD＝2

…（1分）
∵∠APD＝90°，∴PA²+PD²＝AD²，即（

）²+（

）²＝（2

）²…（1分）
解得m₁＝﹣1，m₂＝﹣3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，﹣1）…（1分）

解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得 DE＝1，OE＝4…（1分）
由∠APD＝90°，得∠APO+∠DPE＝90°，
由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OAP＝∠EPD
又∠AOP＝∠OED＝90°，
∴△OAP∽△EPD
∴

…（1分）
设OP＝m，PE＝4﹣m
则

，解得m₁＝1，m₂＝3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，﹣1）…（1分）

（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA＝AQ＝PD＝QD＝

，∠PAQ＝90°，
∴四边形APDQ为正方形，…（1分）
由∠QAP＝90°，得∠HAQ+∠OAP＝90°，由∠AOP＝90°，得∠APO+∠OAP＝90°，
∴∠OPA＝∠HAQ，又∠AOP＝∠AHQ＝90°，PA＝QA
∴△AOP≌△AHQ，∴AH＝OP＝1，QH＝OA＝3…（2分）
∴Q（4，﹣3）…（1分）
解法二：
设Q（m，n）…（1分）
则AQ＝

＝

，QD＝

＝

…（1分）
解得

，

（不合题意，舍去）…（1分）
∴Q（4，﹣3）…（1分）

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用勾股定理相似三角形的判定与性二次函数与对称问题二次函数的动点问题求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.67

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.34

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
$德优题库$

共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.25

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196309. （2024•高新一中•九上期末）已知抛物线y=ax²+bx-4经过点A（-2，0），B（4，0），与y轴的交点为C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴m右侧，对称轴m与x轴交于点M，过点P作PN⊥x轴，垂足为N．若∠PMN=∠CAO，求出点P的坐标．

共享时间:2024-02-28 难度:5 相似度:1.17

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191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:1.17

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190318. （2025•高陵区•八上期末） $德优题库$ 如图，在△ABC中，BC=5，点D在BC上，且AD⊥BC，AD=BD=3，求AB，AC的长．

共享时间:2025-02-07 难度:1 相似度:1.17

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190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.17

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190437. （2025•铁一中学•九上期末）在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E，∠CAB=∠CBD，已知AB=4，AC=6，BC=5，BD=5.5，求DE的长．

共享时间:2025-02-25 难度:1 相似度:1.17

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173795. （2024•陆港中学•八上一月）．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四块阴影部分的面积分别为S₁、S₂、S₃、S₄．则S₁﹣S₂+S₃+S₄等于　　．

共享时间:2024-10-21 难度:1 相似度:1.17

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172681. （2024•长安区•八上一月）已知直角三角形的一条直角边的长是7cm，斜边的长是9cm，求另一条直角边的长．

共享时间:2024-10-19 难度:1 相似度:1.17

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190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:1.17

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173601. （2024•铁一中学•九上二月）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c交x轴于A（1，0），B（﹣3，0）两点，交y轴于点C（0，3），点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交直线BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当线段EF长度最大时，求M点的坐标；
（3）如图2，是否存在点E，使得tan∠FCE＝3，若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．