如图在平面直角坐标系中已知点的坐标是并且动点在过三点的抛物线上求抛物线的解析式是否存在点使得是以为直角边的直角三角形若存在求出所有符合条件的点的坐标若不存在说明理由过动点作垂直于轴于点交直线于点过点作轴的垂线垂足为连接当线段的长度最短时求出点的坐标

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的动点问题，二次函数与线段最值问题，二次函数综合应用，等腰三角形的判定与性质，

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[答案]

答案详见解析

[解析]

方法一：
解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y＝ax²+bx+c，
则

，
解得：

，
则抛物线的解析式是：y＝﹣x²+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁＝90°，
∴∠MCP₁+∠ACO＝90°．
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP₁＝∠OAC．
∵OA＝OC，
∴∠MCP₁＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP₁＝∠MP₁C，
∴MC＝MP₁，
设P（m，﹣m²+3m+4），
则m＝﹣m²+3m+4﹣4，
解得：m₁＝0（舍去），m₂＝2．
∴﹣m²+3m+4＝6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO＝45°，
∴∠OAP₂＝45°，
∴∠FP₂N＝45°，AO＝OF．
∴P₂N＝NF，
设P₂（n，﹣n²+3n+4），
则n＝（﹣n²+3n+4）+4，
解得：n₁＝﹣2，n₂＝4（舍去），
∴﹣n²+3n+4＝﹣6，
则P₂的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF＝

OC＝2，
∴点P的纵坐标是2．
则﹣x²+3x+4＝2，
解得：x＝

，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（

，2）或（

，2）．

方法二：
（1）略．
（2）①当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，
∵A（4，0），C（0，4），
∴K_AC＝﹣1，
∵CP⊥AC，∴K_CP×K_AC＝﹣1，K_CP＝1，
∴l_CP：y＝x+4，
∴

⇒x²﹣2x＝0，
∴x₁＝0（舍），x₂＝2，
∴P（2，6），
②当点A为直角顶点时，过点A作AP⊥AC交抛物线于点P，
∵AP⊥AC，
∴K_AP×K_AC＝﹣1，
∴K_AP＝1
∴l_AP：y＝x﹣4，
∴

⇒x²﹣2x﹣8＝0，
∴x₁＝4（舍），x₂＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），
综上所述，P点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6），

（3）设P（t，﹣t²+3t+4），E（0，﹣t²+3t+4），
l_AC：y＝﹣x+4，
∴D（t²﹣3t，﹣t²+3t+4），F（t²﹣3t，0），
∴EF²＝（t²﹣3t）²+（t²﹣3t﹣4）²，
令t²﹣3t＝m，
∴EF²＝m²+（m﹣4）²＝2m²﹣8m+16，
∴当m＝2时，EF²有最小值，即t²﹣3t＝2时，
∴t＝

或

，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（

，2）或（

，2）．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用等腰三角形的判定与性二次函数的动点问题二次函数与线段最值问题二次函数的性质求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

原创声明：

本题解析属于发布者原创，非正常渠道不可私用，违者必究！！版权申诉

考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.66

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.34

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.34

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.34

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2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.25

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.25

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.25

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.17

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78. （2020•海南省•真题）抛物线y＝x²+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.17

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880. （2013•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x₁）（x﹣x₂）]．

共享时间:2013-11-18 难度:3 相似度:1.17

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1093. （2020•陕西省•真题）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2020-07-30 难度:4 相似度:1.17

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61. （2020•北京市•真题）在平面直角坐标系xOy中，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）上任意两点，其中x₁＜x₂．
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x₁，x₂为何值时，y₁＝y₂＝c；
（2）设抛物线的对称轴为x＝t，若对于x₁+x₂＞3，都有y₁＜y₂，求t的取值范围．

共享时间:2020-12-28 难度:3 相似度:1.17

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1051. （2019•陕西省•真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax²+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．