如图在平面直角坐标系中已知点的坐标是并且动点在过三点的抛物线上求抛物线的解析式是否存在点使得是以为直角边的直角三角形若存在求出所有符合条件的点的坐标若不存在说明理由过动点作垂直于轴于点交直线于点过点作轴的垂线垂足为连接当线段的长度最短时求出点的坐标

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的动点问题，二次函数与线段最值问题，二次函数综合应用，等腰三角形的判定与性质，

[答案]

答案详见解析

[解析]

方法一：
解：（1）由A（4，0），可知OA＝4，
∵OA＝OC＝4OB，
∴OA＝OC＝4，OB＝1，
∴C（0，4），B（﹣1，0）．
设抛物线的解析式是y＝ax²+bx+c，
则

，
解得：

，
则抛物线的解析式是：y＝﹣x²+3x+4；

（2）存在．
第一种情况，当以C为直角顶点时，过点C作CP₁⊥AC，交抛物线于点P₁．过点P₁作y轴的垂线，垂足是M．
∵∠ACP₁＝90°，
∴∠MCP₁+∠ACO＝90°．
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠MCP₁＝∠OAC．
∵OA＝OC，
∴∠MCP₁＝∠OAC＝45°，
∴∠MCP₁＝∠MP₁C，
∴MC＝MP₁，
设P（m，﹣m²+3m+4），
则m＝﹣m²+3m+4﹣4，
解得：m₁＝0（舍去），m₂＝2．
∴﹣m²+3m+4＝6，
即P（2，6）．
第二种情况，当点A为直角顶点时：过A作AP₂⊥AC，交抛物线于点P₂，过点P₂作y轴的垂线，垂足是N，AP₂交y轴于点F．
∴P₂N∥x轴，
由∠CAO＝45°，
∴∠OAP₂＝45°，
∴∠FP₂N＝45°，AO＝OF．
∴P₂N＝NF，
设P₂（n，﹣n²+3n+4），
则n＝（﹣n²+3n+4）+4，
解得：n₁＝﹣2，n₂＝4（舍去），
∴﹣n²+3n+4＝﹣6，
则P₂的坐标是（﹣2，﹣6）．
综上所述，P的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6）；

（3）连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短，可得当OD⊥AC时，OD最短，即EF最短．
由（1）可知，在直角△AOC中，OC＝OA＝4，
根据等腰三角形的性质，D是AC的中点．
又∵DF∥OC，
∴DF＝

OC＝2，
∴点P的纵坐标是2．
则﹣x²+3x+4＝2，
解得：x＝

，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（

，2）或（

，2）．

方法二：
（1）略．
（2）①当以C为直角顶点时，过点C作CP⊥AC，交抛物线于点P，
∵A（4，0），C（0，4），
∴K_AC＝﹣1，
∵CP⊥AC，∴K_CP×K_AC＝﹣1，K_CP＝1，
∴l_CP：y＝x+4，
∴

⇒x²﹣2x＝0，
∴x₁＝0（舍），x₂＝2，
∴P（2，6），
②当点A为直角顶点时，过点A作AP⊥AC交抛物线于点P，
∵AP⊥AC，
∴K_AP×K_AC＝﹣1，
∴K_AP＝1
∴l_AP：y＝x﹣4，
∴

⇒x²﹣2x﹣8＝0，
∴x₁＝4（舍），x₂＝﹣2，∴P（﹣2，﹣6），
综上所述，P点的坐标是（2，6）或（﹣2，﹣6），

（3）设P（t，﹣t²+3t+4），E（0，﹣t²+3t+4），
l_AC：y＝﹣x+4，
∴D（t²﹣3t，﹣t²+3t+4），F（t²﹣3t，0），
∴EF²＝（t²﹣3t）²+（t²﹣3t﹣4）²，
令t²﹣3t＝m，
∴EF²＝m²+（m﹣4）²＝2m²﹣8m+16，
∴当m＝2时，EF²有最小值，即t²﹣3t＝2时，
∴t＝

或

，
∴当EF最短时，点P的坐标是：（

，2）或（

，2）．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用等腰三角形的判定与性二次函数的动点问题二次函数与线段最值问题二次函数的性质求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.66

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.34

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.34

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.34

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.25

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2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.25

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.25

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191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:1.17

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190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:1.17

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191883. （2023•经开二校•九上二月）已知一个二次函数y=x²+bx+c的图象经过点（4，1）和（-1，6）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴．

共享时间:2023-12-12 难度:1 相似度:1.17

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191997. （2023•陆港中学•九上二月）如图，抛物线C₁：y＝﹣x²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线C₁的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图1，点P为直线BD上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标m．当m为何值时，△PBD的面积最大？并求出这个面积的最大值；
（3）在图2中，将抛物线C₁关于x轴对称，得到新的抛物线C₂：

，新的抛物线与y轴交于点E，点M是y轴上一点，点N是平面内一点，是否存在点M，N，使以点B，E，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2023-12-20 难度:5 相似度:1.17

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191917. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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共享时间:2023-12-27 难度:5 相似度:1.17

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20185. （2021•西工大附中•五模）在平面直角坐标系中，经过点（1，﹣10），（2，﹣12）的抛物线y＝ax²+bx﹣6与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线确定一点P，使∠ACP＝90°，求点P的坐标；
（3）是否在x轴上存在点M，使∠OCM+∠ACO＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-06-03 难度:4 相似度:1.17

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19062. （2016•交大附中•模拟）如图，已知抛物线C₁经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C₁的函数表达式．
（2）抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，求抛物线C₂的函数表达式．
（3）P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．