如图在平面直角坐标系中抛物线与轴交于两点点是该抛物线的顶点若抛物线与抛物线关于直线对称其中点与点点与点点与点是对应点求抛物线的表达式连接在直线上找一点使得周长最小并求出点的坐标连接点是直线上一点点是抛物线上一点若以点为顶点的四边形是平行四边形请求出符合条件的点的坐标

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4

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[考点]

求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的动点问题，二次函数与线段最值问题，二次函数的几何最值问题，二次函数综合应用，

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[答案]

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[解析]

解：（1）令y＝0得：0＝﹣x²+6x﹣5，解得x＝1或x＝5，
∴A（1，0），B（5，0）．
∵点E与段B关于x＝﹣1对称，
∴点E（﹣7，0）．
∴AE＝8．
∴W₂可由W₁向左平移8个单位得到．
∴抛物线W₂的表达式为y＝﹣（x+8）²+6（x+8）﹣5，即y＝﹣x²﹣10x﹣21．

（2）如图1所示：连接BF交x＝﹣1与H．

∵y＝﹣x²+6x﹣5＝﹣（x﹣3）²+4，
∴C（3，4）．
∵点F与点C关于x＝﹣1对称，
∴FH＝CH，F（﹣5，4）．
∴当点F、H、B在一条直线上时，HC+BH有最小值，即△BCH的周长最小．
设BF的解析式为y＝kx+b，将点B和点F的坐标代入得：

，解得：k＝﹣

，b＝2．
∴直线BF的解析式为y＝﹣

x+2．
当x＝﹣1时，y＝

．
∴H（﹣1，

）．

（3）当DP为平行四边形的对角线时，设点P的坐标为（﹣1，a），Q（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴

，

，
∴x＝1，y＝a﹣4．
∴Q（1，a﹣4）．
将点Q的坐标代入W₁的解析式得：a﹣4＝﹣1+6﹣5，解得a＝4．
∴Q（1，0）．
当DP为平行四边形的边时．设点P的坐标为（﹣1，a）．
∵平行四边形的对边平行且相等，
∴PQ可看作由DF平移得到．
∴点Q的坐标为（﹣1﹣2，a+4）．
将点Q的坐标代入W₁的解析式得：a+4＝﹣9+6×（﹣3）﹣5，解得a＝﹣36．
∴Q（﹣3，﹣32）．
当DF为对角线时，设点P的坐标为（﹣1，a），Q（x，y）．
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴

＝

，

＝

，
∴x＝﹣7，y＝4﹣a．
∴Q（﹣7，4﹣a）．
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：a﹣4＝﹣49﹣42﹣5，
∴a＝100，
∴y＝﹣96
∴点Q的坐标为（﹣7，﹣96）．
综上所述，点Q的坐标为（1，0）或（﹣3，﹣32）或（﹣7，﹣96）时，以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．

[点评]

本题考查了"二次函数的几何最值问题二次函数综合应用二次函数的动点问题二次函数与线段最值问题二次函数的性质求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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考点说明

灰色代表去掉的考点，绿色代表未变动的考点，红色代表新增的考点

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1.66

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20479. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.34

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.34

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.34

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.34

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82. （2020•潍坊市•真题）如图，抛物线y＝ax²+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S_△PBC＝

S_△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.33

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86. （2020•重庆市•模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a₁x²+b₁x+c₁（a₁≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.33

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77. （2020•淄博市•真题）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax²+bx+

（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的

，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:4 相似度:1.33

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2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.25

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21715. （2021•交大附中•七模）如图，抛物线M：y＝ax²+bx+b﹣a经过点（1，﹣3）和（﹣4，12），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，顶点为D．
（1）求抛物线M的表达式和顶点D的坐标；
（2）若抛物线N：y＝﹣

（x﹣h）²+

与抛物线M有一个公共点为E，则在抛物线N上是否存在一点F，使得以B、C、E、F为顶点的四边形是以BC为边的平行四边形？若存在，请求出h的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2021-07-25 难度:4 相似度:1.25

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2017-05-28 难度:4 相似度:1.25

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359. （2012•红星高中•真题）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　　三角形；
（2）若抛物线y=﹣x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．

共享时间:2020-07-03 难度:5 相似度:1.17

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440. （2016•陕西省•副题）如图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，且△AOB是等腰直角三角形，∠AOB＝90°，点A（2，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的函数表达式；
（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P，使四边形ABOP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-07-15 难度:5 相似度:1.17

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81. （2020•陕西省•模拟）如图，抛物线y＝x²+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

共享时间:2021-01-06 难度:3 相似度:1.17

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474. （2017•陕西省•副题）如图，已知抛物线L：y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．且A（﹣1，0），OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线L的函数表达式；
（2）在抛物线L的对称轴上是否存在一点M，使△ACM周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC、BC，在抛物线L上是否存在一点N，使S_△_ABC＝2S_△_OCN？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2017-07-10 难度:5 相似度:1.17

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2016-06-06

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更新:2016-06-06 06:06浏览量:554

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