分如图抛物线的顶点坐标为并且与轴交于点与轴交于两点求抛物线的表达式如图设抛物线的对称轴与直线交于点点为直线上一动点过点作轴的平行线与抛物线交于点问是否存在点使得以为顶点的三角形与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由

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6068. （2017•铁一中学•模拟） 24．（10分）如图1，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，-1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F，问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2017-05-28 难度:4

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[考点]

解一元二次方程，求二次函数的解析式，二次函数的动点问题，二次函数综合应用，

[答案]

答案详见解析

[解析]

解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）²﹣1，
把C（0，3）代入，得4a﹣1＝3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣2）²﹣1，即y＝x²﹣4x+3；
（2）如图2，当y＝0时，x²﹣4x+3＝0，解得x₁＝1，x₂＝3，则B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入，得

，解得

，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，1），
∵EF∥OC，
∴∠FED＝∠OCB，
∴若∠DFE＝90°时，△DFE∽△BOC，
此时DF∥x轴，
当y＝1时，x²﹣4x+3＝1，解得x₁＝2+

，x₂＝2﹣

，
即F点的横坐标为2+

或2﹣

，
当x＝2+

时，y＝﹣x+3＝1﹣

，此时E点坐标为（2+

，1﹣

）；
当x＝2﹣

时，y＝﹣x+3＝1+

，此时E点坐标为（2﹣

，1+

）；
若∠FDE＝90°时，△EDF∽△CBO，
∵此时DF⊥BC，
∴可设DF的解析式为y＝x+n，
把D（2，1）代入，得2+n＝1，解得n＝﹣1，
解方程组

，得

或

，此时F点坐标为（1，0）或（4，3），
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣1，
∴此时E点坐标为（1，2）或（4，﹣1），
综上所述，满足条件的E点坐标为（2+

，1﹣

）或（2﹣

，1+

）或（1，2）或（4，﹣1）．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用解一元二次方程二次函数的动点问题求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉知识点是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.67

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2896. （2015•益新中学•真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线y＝kx+n（k≠0）经过B，C两点，已知A（1，0），C（0，3），且BC＝5．
（1）分别求直线BC和抛物线的解析式（关系式）；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2019-05-28 难度:4 相似度:1.5

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6244. （2017•铁一中学•模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点．已知：抛物线y＝ax²+bx+3经过点P（1，4）和点Q（2，﹣3）．
（1）试判断该抛物线与x轴交点的情况．
（2）平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A（2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形．请你写出平移过程，并说明理由．

共享时间:2017-07-03 难度:4 相似度:1.35

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6519. （2017•高新一中•模拟）如图，抛物线C₁：y＝x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

共享时间:2017-06-20 难度:4 相似度:1.35

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.25

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189765. （2025•长安区•九上期末）如图，已知抛物线y＝ax²+bx﹣3的图象与x轴交于点A（1，0）和B（3，0）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若△FCG是以GF，GC为腰的等腰三角形时，求出m的值．

共享时间:2025-02-02 难度:5 相似度:1.25

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1.25

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6319. （2017•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD＝90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

共享时间:2017-06-26 难度:4 相似度:1.25

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189714. （2025•师大附中•九上期末）某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知OA=12米，OA的垂直平分线与抛物线交于点P，与OA交于点H，点P是抛物线的顶点，且PH=9米．如图2，以OA所在直线为x轴，过点O且垂直OA的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段OB、AB），且∠OBA=90°．在PH上有个照明灯E，经过照明灯E的横梁CD与OA平行．若照明灯E到支架顶端B的距离与横梁CD之和恰为6米（即BE+CD=6），求横梁CD的长．
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共享时间:2025-02-15 难度:5 相似度:1.25

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181185. （2023•爱知中学•九上四月） $德优题库$ 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-2的图象经过点（2，-2）和（-6，10），且与x轴相交于A、B两点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）已知点M、N是平面上的两个点，且M点在x轴的上方，若以A、B、M、N为顶点的四边形是正方形，请求出点M的坐标．

共享时间:2023-01-10 难度:5 相似度:1.25

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197820. （2024•铁一中学•九上期中）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线表达式；
（2）若点M是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BM、CM，求△BCM面积最大时点M的坐标；
（3）若点D是x轴上的动点，点E是抛物线上的动点，是否存在以点A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由. $德优题库$

共享时间:2024-11-16 难度:5 相似度:1.25

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190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:1.25

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.25

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175955. （2024•交大附中•九上二月）如图，已知抛物线：y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，8），对称轴是直线

，P是第一象限内抛物线上的任一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．

共享时间:2024-12-24 难度:5 相似度:1.25

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174030. （2024•西工大附中•九上二月） $德优题库$ 如图，关于x的二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴相交于点C．
（1）求二次函数的表达式和线段BC的长；
（2）在抛物线对称轴上找一点P，使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标．

共享时间:2024-12-10 难度:5 相似度:1.25

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tyz510

2017-05-28

初中数学 | | 解答题

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