如图已知抛物线经过及原点顶点为求抛物线的函数表达式抛物线与抛物线关于原点成中心对称求抛物线的函数表达式是抛物线上的第四象限内的动点过点作轴垂足是是否存在点使得以为顶点的三角形与相似若存在求出点的坐标若不存在请说明理由

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19062. （2016•交大附中•模拟）如图，已知抛物线C₁经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线C₁的函数表达式．
（2）抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，求抛物线C₂的函数表达式．
（3）P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

共享时间:2016-06-21 难度:4

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[考点]

点关于原点对称，求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的动点问题，二次函数综合应用，直角三角形的性质，相似三角形的性质，

[答案]

答案详见解答

[解析]

解：（1）∵抛物线C₁经过原点O，
∴设抛物线C₁的函数表达式为y＝ax²+bx，
∵抛物线C₁经过A（﹣2，0），B（﹣3，3），
∴

，
∴

，
∴抛物线C₁的函数表达式为y＝x²+2x，

（2）如图1，由（1）知，抛物线C₁的函数表达式为y＝x²+2x＝（x+1）²﹣1，

∴抛物线C₁的顶点C（﹣1，﹣1），
∴点C关于原点的对称点C'（1，1），
∵抛物线C₂与抛物线C₁关于原点成中心对称，
∴抛物线C₂的顶点坐标C'（1，1），
设抛物线C₂的函数表达式为y＝a'（x﹣1）²+1，
∵抛物线C₁经过原点O，
∴抛物线C₂也经过原点O，
∴a'（1﹣0）²+1＝0，
∴a'＝﹣1，
∴抛物线C₂的函数表达式为y＝﹣（x﹣1）²+1＝﹣x²+2x；

（3）存在，如图2，由（2）知，抛物线C₁的顶点C（﹣1，﹣1），

∵B（﹣3，3），O（0，0），
∴OB²＝18，OC²＝2，BC²＝20，
∴OB²+OC²＝BC²，
∴△BOC是直角三角形，
∴∠BOC＝90°，
∵PM⊥x轴，垂足是M，
∴∠PMA＝90°，
由（2）知，y＝﹣x²+2x；
∵P是抛物线C₂上的第四象限内的动点，
∴P（m，﹣m²+2m），
∵A（﹣2，0），
∴M（2，0），
∴m＞2，
∵PM⊥x轴于M，
∴M（m，0），PM＝﹣（﹣m²+2m）＝m²﹣2m，
∴AM＝m+2，
∵以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，
∴①当△PMA∽△BOC时，
∴

，
∴

，
∴m＝﹣1（舍）或m＝6，
∴P（6，﹣24）；
②当△AMP∽△BOC时，
∴

，
∴

，
∴m＝

（舍）或m＝

，
∴P（

，

），
即：存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，
点P的坐标为（6，﹣24）或（

，

）．

[点评]

本题考查了"二次函数综合应用直角三角形的性质相似三角形的性质点关于原点对称二次函数的动点问题二次函数的性质二次函数的顶点坐标求二次函数的解析式 "，属于"综合题"，熟悉题型是解题的关键

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

6519. （2017•高新一中•模拟）如图，抛物线C₁：y＝x²+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C₁向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C₂，C₂交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
（1）求抛物线C₁的解析式及顶点坐标；
（2）以AC为斜边向上作等腰直角三角形ACD，当点D落在抛物线C₂的对称轴上时，求抛物线C₂的解析式；
（3）若抛物线C₂的对称轴存在点P，使△PAC为等边三角形，求m的值．

共享时间:2017-06-20 难度:4 相似度:1.3

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23085. （2021•高新一中•九上期中）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=x²-4x-1；
（2）y=-2x²-5x+7．

共享时间:2021-11-25 难度:3 相似度:1.25

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23921. （2022•高新一中•二模）如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB交于点A（-1，4），点B（3，0）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上一点，若以B、O、M、N为顶点的四边形是以OB为边的平行四边形，求点M的坐标．
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共享时间:2022-03-14 难度:4 相似度:1.17

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19121. （2016•益新中学•模拟）已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，使得点P、Q、B、O的四边形为平行四边形，求Q的坐标．

共享时间:2016-06-20 难度:4 相似度:1.17

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20160. （2021•西工大附中•四模）在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝x²﹣2x﹣3与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）求点C、点D的坐标；
（2）将抛物线L向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线L'，抛物线L与L'的交点为P，若△PCD是以CD为直角边的直角三角形，请求出m的值．

共享时间:2021-05-31 难度:4 相似度:1.17

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20479. （2020•铁一中学•八模）如图，抛物线经过点A（4，4），B（5，0）和原点O，点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D（m，0）（m＞0），并与直线OA交于点C．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）连接OP，当S_△_OPC＝

S_△_OCD时，求出此时的点P坐标；
（3）在直线OA上取一点M，使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等，请直接写出点M的坐标．

共享时间:2020-07-27 难度:4 相似度:1.17

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19253. （2016•西工大附中•模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线W₁：y＝﹣x²+6x﹣5与x轴交于A、B两点，点C是该抛物线的顶点．
（1）若抛物线W₁与抛物线W₂关于直线x＝﹣1对称，其中，点C与点F，点E与点B，点D与点A是对应点，求抛物线W₂的表达式．
（2）连接BC，在直线x＝﹣1上找一点H，使得△BCH周长最小，并求出点H的坐标．
（3）连接FD，点P是直线x＝﹣1上一点，点Q是抛物线W₁上一点，若以点D、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出符合条件的点Q的坐标．

共享时间:2016-06-06 难度:4 相似度:1.17

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6168. （2014•师大附中•真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

共享时间:2017-06-21 难度:4 相似度:1.17

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23818. （2021•益新中学•五模）已知二次函数y=x²+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（-1，0），C（4，0），AC=BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图象；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
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共享时间:2021-06-18 难度:4 相似度:1.17

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191891. （2023•经开二校•九上二月）直线y＝

与抛物线y＝（x﹣3）²﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t
（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；
（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；
（3）若CD＝CB．
①求点B的坐标；
②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+

CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是　　．

共享时间:2023-12-12 难度:5 相似度:1.13

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190593. （2025•交大附中•九上期末） $德优题库$ 已知抛物线L：y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P是直线 y=x+2 上第一象限内的一个动点，将抛物线L进行平移得到抛物线L′，点B的对应点为点Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由．

共享时间:2025-02-14 难度:5 相似度:1.13

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190515. （2025•碑林区•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=-x²+mx+3经过点M（-1，3）．
（1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标．
（2）当-3≤x≤0时，y的取值范围是．

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.13

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191917. （2023•西安市航天城第二中学•九上二月）如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象交x轴于A（-2，0），B（1，0），交y轴于C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）连接AC，在直线AC上方的抛物线上是否存在点N，使△NAC的面积最大，若存在，求出这个最大值及此时点N的坐标，若不存在，说明理由；
（3）若点M在x轴上，是否存在点M，使以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
$德优题库$

共享时间:2023-12-27 难度:5 相似度:1.13

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190371. （2025•西工大附中•九上期末） $德优题库$ 如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．点M在线段OB上，ME∥y轴，交BC于点F，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）当△CEF与△BOC相似时，求点E的坐标．

共享时间:2025-02-06 难度:5 相似度:1.13

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189831. （2025•高新一中•九上期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=2x²-4x+13
（2）y=x（6-x）

共享时间:2025-02-22 难度:1 相似度:1.13

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艺黎

2016-06-21

初中数学 | | 解答题

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2016年陕西省西安市交大附中中考数学四模试卷

更新:2016-06-21 06:08浏览量:545

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