设二次函数满足条件当时且当时在上的最小值为求最大的使得存在只要就有

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237747. （2018•高新一中•高一上期中）．设二次函数f（x）＝ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）满足条件：
（1）当x∈R时，f（x﹣4）＝f（2﹣x），且f（x）≥x：
（2）当x∈（0，2）时，f（x）≤

；
（3）f（x）在R上的最小值为0．
求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

共享时间:2018-11-14 难度:2

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[考点]

由函数的单调性求解函数或参数，函数最值的应用，

[答案]

见试题解答内容

[解析]

解：因f（x﹣4）＝f（2﹣x），则函数的图象关于x＝﹣1对称，∴

＝﹣1，b＝2a，
由（3），x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，由（1）得，f（1）≥1，由（2）得，f（1）≤1，
则f（1）＝1，即a+b+c＝1．又a﹣b+c＝0，则b＝

，a＝

，c＝

，故f（x）＝

x²+

．
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．
取x＝1，有f（t+1）≤1，即

（t+1）²+

（t+1）+

≤1，解得﹣4≤t≤0，
对固定的t∈[﹣4，0]，取x＝m，有f（t+m）≤m，即

（t+m）²+

（t+m）+

≤m．
化简有：m²﹣2（1﹣t）m+（t²+2t+1）≤0，解得1﹣t﹣

≤m≤1﹣t+

，
故m≤1﹣t﹣

≤1﹣（﹣4）+

＝9
当t＝﹣4时，对任意的x∈[1，9]，
恒有f（x﹣4）﹣x＝

（x²﹣10x+9）＝

（x﹣1）（x﹣9）≤0．
∴m的最大值为9．
另解：∵f（x﹣4）＝f（2﹣x）
∴函数的图象关于x＝﹣1对称
∴

，即b＝2a
由③知当x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0
由①得 f（1）≥1，由②得 f（1）≤1
∴f（1）＝1，即a+b+c＝1，又a﹣b+c＝0
∴a＝

，b＝

，c＝

∴f（x）＝

…（5分）
假设存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x
取x＝1时，有f（t+1）≤1⇒

（t+1）²+

（t+1）+

≤1⇒﹣4≤t≤0
对固定的t∈[﹣4，0]，取x＝m，有
f（t+m）≤m⇒

（t+m）²+

（t+m）+

≤m⇒m²﹣2（1﹣t）m+（t²+2t+1）≤0⇒

≤m≤

…（10分）
∴m≤

≤

＝9 …（15分）
当t＝﹣4时，对任意的x∈[1，9]，恒有
f（x﹣4）﹣x＝

（x²﹣10x+9）＝

（x﹣1）（x﹣9）≤0
∴m的最大值为9． …（20分）

[点评]

本题考查了"由函数的单调性求解函数或参数，函数最值的应用，"，属于"必考题"，熟悉题型是解题的关键。

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（1）求证y＝log_ax的单调性；
（2）求证y＝a^x的单调性．

共享时间:2022-10-18 难度:1 相似度:1.5

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172379. （2021•西安中学•高一上期中）对于定义域为D的函数y＝f（x）若同时满足下列条件：
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（1）求证：函数f（x）＝

是[0，2]的闭函数；
（2）求闭函数y＝﹣x³符合条件②的区间[a，b]；
（3）判断函数

是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．

共享时间:2021-11-10 难度:1 相似度:1.5

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171124. （2024•西电附中•高一上期中）某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益（单位：元）满足R（x）＝

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（1）将利润表示为月产量的函数f（x）；
（2）当月产量为何值时，公司利润最大？最大为多少元？（总收益＝总成本+利润）

共享时间:2024-11-21 难度:1 相似度:1.5

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237015. （2021•西安一中•高一上期中）已知函数

．
（1）判断函数在区间[0，+∞）上的单调性，并用定义证明你的结论；
（2）若

在R上是单调函数，求实数a的取值范围．

共享时间:2021-11-27 难度:1 相似度:1.5

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171912. （2022•长安区一中•高一上期中）已知函数

．
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共享时间:2022-11-19 难度:2 相似度:1

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共享时间:2019-07-23 难度:2 相似度:1

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