已知函数证明在区间上为增函数若在上存在实数使得成立求正数的取值范围

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172249. （2022•唐南中学•高一上期中）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且对任意的正实数x，y都有f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0，f（4）＝1，
（1）求证：f（1）＝0；
（2）求f（）；
（3）解不等式f（x）+f（x﹣3）≤1．

共享时间:2022-11-10 难度:2

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[考点]

由函数的单调性求解函数或参数，函数恒成立问题，

[答案]

（1）证明见解析；
（2）（0，2）．

[解析]

解：（1）证明：令x＝4，y＝1，则f（4）＝f（4×1）＝f（4）+f（1）．
∴f（1）＝0．
（2）f（16）＝f（4×4）＝f（4）+f（4）＝2，f（1）＝f（ ×16）＝f（）+f（16）＝0，
故f（）＝﹣2．
（3）设x1，x2＞0且x1＞x2，于是f（）＞0，
∴f（x1）＝f（ ×x2）＝f（）+f（x2）＞f（x2）．
∴f（x）为x∈（0，+∞）上的增函数．
又∵f（x）+f（x﹣3）＝f[x（x﹣3）]≤1＝f（4），
∴ ⇒3＜x≤4．
∴原不等式的解集为{x|3＜x≤4}

[点评]

本题考查了"由函数的单调性求解函数或参数，函数恒成立问题，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

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相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

171762. （2022•师大附中•高一上期中）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数．当a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0时，有

成立．
（Ⅰ）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（Ⅱ）若f（1）＝1，且f（x）≤m²﹣2bm+1对所有x∈[﹣1，1]，b∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2022-11-26 难度:3 相似度:1.67

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170991. （2024•庆安中学（高）•高一上期中）已知函数

，且f（1）＝10，f（3）＝6．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[3，+∞）上的单调性并用单调性的定义证明你的判断；
（3）若不等式f（m²+3）＞10恒成立，求m的取值范围．

共享时间:2024-11-30 难度:3 相似度:1.67

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170972. （2024•曲江二中•高一上期中）已知函数

是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且

．
（1）求a，b的值；
（2）用定义法证明函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（3）若f（x）≤m²﹣5mt﹣5对于任意的x∈[﹣1，1]，t∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2024-11-24 难度:3 相似度:1.67

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171374. （2023•西安中学•高三上期中）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|，a，b∈R且a+b＞0．
（1）若函数f（x）的最小值为1，试证明点（a，b）在定直线上；
（2）若b＝1，x∈[0，1]时，不等式f（x）≤x+5恒成立，求实数a的取值范围．

共享时间:2023-11-22 难度:1 相似度:1.5

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169462. （2024•长安区一中•高一上期末）已知函数

为奇函数．
（1）求实数a的值，并用定义证明函数f（x）的单调性；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²+3）+f（t²﹣tk）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

共享时间:2024-02-14 难度:1 相似度:1.5

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169234. （2025）若存在实数对（a，b），使等式f（x）•f（2a﹣x）＝b对定义域中每一个实数x都成立，则称函数f（x）为（a，b）型函数．
（1）若函数f（x）＝2^x是（a，1）型函数，求a的值；
（2）若函数

是（a，b）型函数，求a和b的值；
（3）已知函数h（x）定义在[﹣2，4]上，h（x）恒大于0，且为（1，4）型函数，当x∈（1，4]时，

．若h（x）≥1在[﹣2，4]恒成立，求实数m的取值范围．

共享时间:1970-01-01 难度:1 相似度:1.5

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168968. （2021•交大附中•四模）已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax﹣2|．
（1）当a＝1时，求f（x）的最小值；
（2）当x∈[3，4]时，f（x）≤x恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2021-04-20 难度:1 相似度:1.5

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171572. （2023•滨河中学•高一上期中）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：
①f（3）＝0；
②∀x，y＞0，f（xy）＝f（x）+f（y）+2；
③当x∈（0，1）时，f（x）＜﹣2．
（1）求

；
（2）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）若实数a＞0，

在

上恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:4 相似度:1.5

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172379. （2021•西安中学•高一上期中）对于定义域为D的函数y＝f（x）若同时满足下列条件：
①f（x）在D内单调递增或单调递减：
②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么把y＝f（x）（x∈D）叫闭函数．
（1）求证：函数f（x）＝

是[0，2]的闭函数；
（2）求闭函数y＝﹣x³符合条件②的区间[a，b]；
（3）判断函数

是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．

共享时间:2021-11-10 难度:1 相似度:1.5

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169720. （2023•师大附中•高一下期末）已知函数f（x）＝a^x（a＞0，且a≠1）．
（1）证明：f（2x₁）+f（2x₂）≥2f（x₁+x₂）；
（2）若f（x₁）＝2，f（x₂）＝3，f（x₁x₂）＝8，求a的值；
（3）∀x∈R，

恒成立，求a的取值范围．

共享时间:2023-07-17 难度:1 相似度:1.5

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170510. （2022•高新一中•高一上期末）若函数y＝f（x）对定义域内的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使得f（x₁）f（x₂）＝1成立，则称该函数为“依赖函数”．
（1）判断函数g（x）＝sinx是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数f（x）＝2^x^﹣1在定义域[m，n]（m＞0）上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
（3）已知函数h（x）＝（x﹣a）²

在定义域

上为“依赖函数”，若存在实数

，使得对任意的t∈R，不等式h（x）≥﹣t²+（s﹣t）x+4都成立，求实数s的最大值．

共享时间:2022-02-10 难度:1 相似度:1.5

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172117. （2022•高新一中•高一上期中）设函数

（a＞0，且a≠1）是定义域为R的奇函数，且y＝f（x）的图象过点

．
（Ⅰ）求t和a的值；
（Ⅱ）若∀x∈R，f（kx﹣x²）+f（x﹣1）＜0，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数m，使函数g（x）＝2^2x+2^﹣2x﹣mf（x）在区间[1，log₂3]上的最大值为1．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

共享时间:2022-11-15 难度:1 相似度:1.5

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169613. （2024•滨河中学•高一下期末）已知函数y＝f（x）的定义域为R，实数a和b满足a＜b，若y＝f（x）在区间（a，b]上不存在最小值，则称y＝f（x）在（a，b]上具有性质P．
（1）若f（x）＝x²﹣2x，判断函数y＝f（x）在下列区间上是否具有性质P；①（0，2]；②（1，3]；
（2）若f（x+1）＝mf（x）+1对任意实数x都成立，当0＜x≤1时，f（x）＝x，若y＝f（x）在区间（0，2]上具有性质P，求实数m的取值范围；
（3）对于满足a＜b的任意实数a和b，y＝f（x）在区间（a，b]上都有性质P，且对于任意k∈Z，当x∈（k，k+1）时，均满足

．设

，n∈N₊，试判断数列{a_n}的单调性，并说明理由．

共享时间:2024-07-23 难度:1 相似度:1.5

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170858. （2025•师大附中•高一下期中）已知函数f（x）＝x²﹣（a+6）x+6（a∈R）．
（1）若∀x∈[1，4]，f（x）+a+8≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）已知g（x）＝mx+7﹣3m，当a＝1时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）＝g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

共享时间:2025-05-01 难度:2 相似度:1

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170838. （2020•铁一中学•高一上期末）．已知函数f（x）＝

．
（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）在[﹣1，+∞）上为增函数，求a的范围．

共享时间:2020-02-11 难度:2 相似度:1

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2022-11-10

高中数学 | 高一上 | 解答题

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2022-2023学年陕西省西安高新唐南中学高一（上）期中数学试卷

更新:2022-11-10 06:15浏览量:16

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