如图在三棱柱中四边形是边长为的正方形平面平面求证平面求平面与平面夹角的余弦值

首页 > 试题列表 > 单题解析

169330. （2025•西安八十五中•高二上期末）如图，在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，四边形AA₁C₁C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB＝3，BC＝5．
（1）求证：BB₁⊥平面ABC；
（2）求平面A₁C₁B与平面B₁C₁B夹角的余弦值．

共享时间:2025-02-15 难度:2

纠错

下载

相似

组卷

[考点]

直线与平面垂直，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，

[答案]

（1）证明见解析；（2）

．

[解析]

解：（1）证明：在三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，有AA₁∥BB₁，
因为四边形AA₁C₁C是正方形，所以AA₁⊥AC，
又因为平面ABC⊥平面AA₁C₁C，平面ABC∩平面AA₁C₁C＝AC，
所以AA₁⊥平面ABC，又AA₁∥BB₁，
所以BB₁⊥平面ABC；
（2）由AC＝4，BC＝5，AB＝3，得AC²+AB²＝BC²，
∴AB⊥AC，
以A为原点，AC，AB，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），A₁（0，0，4），B（0，3，0），C（4，0，0），B₁（0，3，4），C₁（4，0，4），
得

，

，BB₁＝（0，0，4），
设平面A₁C₁B的法向量为

，平面B₁C₁B的法向量为

，
则

，
令y₁＝4，则x₁＝0，z₁＝3，
∴平面A₁C₁B的一个法向量为

，

，
令x₂＝3，则y₂＝4，z₂＝0，
∴平面B₁C₁B的一个法向量为

，
∴

，
∴平面A₁C₁B与平面B₁C₁B夹角的余弦值为

．

[点评]

本题考查了"直线与平面垂直，空间向量法求解二面角及两平面的夹角，"，属于"易错题"，熟悉题型是解题的关键。

转载声明：

本题解析属于发布者收集录入，如涉及版权请向平台申诉！！版权申诉

相似题 全部同步专题复习模拟真题联考专练月考周考期中期末单元寒假暑假副题

166506. （2024•铁一中学•高二上二月）如图，在四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为矩形，

为A₁B₁的中点，且EB＝ED，C₁E⊥BE．
（1）证明：①C₁E⊥平面BDE；
②EA＝EC．
（2）若AB₁＝3，求平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值．

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

171067. （2024•高新一中•高二上期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，E为PD的中点，点F在PC上，且

．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）求二面角F﹣AE﹣D的正弦值；
（3）设点G在PB上，且

．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

共享时间:2024-11-27 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

171395. （2023•西安中学•高二上期中）中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，AB＝4，EF∥AB，AB＝2EF，EA＝ED＝FB＝FC＝3．
（1）当点N为线段AD的中点时，求证：直线AD⊥平面EFN；
（2）当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:2

解析

纠错

下载

组卷

169312. （2025•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥A﹣BCDE中，AB＝AC＝CD＝2BE＝4，BE∥CD，CD⊥CB，AB⊥AC，平面ABC⊥平面BCDE，O为BC中点．
（1）证明：AO⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值；
（3）线段AC上是否存在一点Q，使OQ∥平面ADE？如果不存在，请说明理由；如果存在，求

的值．

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:1.67

解析

纠错

下载

组卷

170168. （2023•铁一中学•高二上期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？证明你的结论；
（2）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．

共享时间:2023-02-15 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

166447. （2024•西工大附中•高三上二月）已知边长为4的菱形ABCD（如图1），

与BD相交于点O，E为线段AO上一点，将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥A﹣BCD（如图2）．
（1）证明：BD⊥CE；
（2）若三棱锥A﹣BCD的体积为8，二面角B﹣CE﹣O的余弦值为

，求OE的长．

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5

解析

纠错

下载

组卷

169123. （2020•西工大附中•三模）已知一等腰梯形ABCD，如图（1）所示，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，沿AC将△ACD折起，使得平面ABC⊥平面ACD，如图（2）所示，连接BD，得三棱锥D﹣ABC．
（1）求证：图（2）中BC⊥平面ACD；
（2）求图（2）中的二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2020-04-03 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169193. （2020•交大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

的菱形，∠BCD＝60°，AC与BD交于点O，平面FBC⊥平面ABCD，EF∥AB，FB＝FC，EF＝

．
（1）求证：OE⊥平面ABCD；
（2）若△FBC为等边三角形，点Q为AE的中点，求二面角Q﹣BC﹣A的余弦值．

共享时间:2020-04-15 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169945. （2023•长安区一中•高二上期末）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥DC，BC⊥AB，CD＝SD，平面SCD⊥平面SBC．
（1）求证：BC⊥平面SCD；
（2）设BC＝CD＝8，SB＝16，求三棱锥S﹣BCD的体积．

共享时间:2023-02-10 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169077. （2020•西工大附中•三模）如图，在多面体ABCDEF中，AB∥CD，AD⊥CD，CD＝2AB＝2AD，四边形ADEF是矩形，平面BDE⊥平面ABCD，AF＝λAD．
（1）证明：DE⊥平面ABCD；
（2）若二面角B﹣CF﹣D的正弦值为

，求λ的值．

共享时间:2020-04-06 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169008. （2020•西安中学•一模）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角A﹣PB﹣E的大小．

共享时间:2020-03-12 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169372. （2024•师大附中•高二上期末）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠DBC＝120°．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角A﹣BD﹣C的正弦值．

共享时间:2024-02-14 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169394. （2024•西安中学•高三上期末）如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．
（1）证明：AC⊥BD；
（2）已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．

共享时间:2024-02-08 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169525. （2024•铁一中学•高三上期末）如图，已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁，平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A₁A＝A₁C＝AC，E，F分别是AC，A₁B₁的中点．
（Ⅰ）证明：EF⊥BC；
（Ⅱ）求直线EF与平面A₁BC所成角的余弦值．

共享时间:2024-02-27 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

169569. （2024•师大附中•高二下期末）如图，在四棱台ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD＝120°，侧棱AA₁⊥底面ABCD，M为棱CD上的点．AD＝A₁A＝2，A₁B₁＝DM＝1．
（1）求证：AM⊥A₁B；
（2）若M为CD的中点，N为棱DD₁上的点，且

，求平面A₁MN与平面A₁BD所成角的余弦值．

共享时间:2024-07-27 难度:2 相似度:1

解析

纠错

下载

组卷

dygzsxyn

2025-02-15

高中数学 | 高二上 | 解答题

下载量
浏览量
收益额

相关试卷 更多>>

2024-2025学年陕西省西安八十五中高二（上）期末数学试卷

更新:2025-02-15 01:49浏览量:8

普通登录

手机登录

微信扫码立即登录