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166447. (2024•西工大附中•高三上二月) 已知边长为4的菱形ABCD(如图1),BD相交于点OE为线段AO上一点,将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥ABCD(如图2).
(1)证明:BDCE
(2)若三棱锥ABCD的体积为8,二面角BCEO的余弦值为,求OE的长.

共享时间:2024-12-24 难度:1
[考点]
空间向量法求解二面角及两平面的夹角,
[答案]
(1)证明见解析;(2)
[解析]
解:(1)证明:因为四边形ABCD是边长为4的菱形,并且
所以△ABD,△BCD均为等边三角形,
AOBDCOBD,且
因为AO⊂平面ACOCO⊂平面ACO,且AOCOO
所以BD⊥平面ACO
因为CE⊂平面ACO,所以BDCE
(2)设A到平面BCD的距离为h,因为等边△BCD的边长为4,
所以三棱锥ABCD的体积为,所以
因为,所以AO⊥平面BCD
O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,OA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz

O(0,0,0),B(2,0,0),
E(0,0,n)(n>0),
因为BD⊥平面ACO,所以是平面ECO的一个法向量,
设平面BCE的法向量为


,则

因为二面角BCEO的余弦值为
所以
解得(舍去),
此时
[点评]
本题考查了"空间向量法求解二面角及两平面的夹角,",属于"基础题",熟悉题型是解题的关键。
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166329. (2024•西安中学•高二上二月) 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCDPB与底面ABCD所成角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2,PABC=1.
(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;
(2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值;

共享时间:2024-12-23 难度:2 相似度:1.5
166506. (2024•铁一中学•高二上二月) 如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,A1B1的中点,且EBEDC1EBE
(1)证明:①C1E⊥平面BDE
EAEC
(2)若AB1=3,求平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值.

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.5
166525. (2024•城关中学•高二上二月) 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,ABCDA1A⊥平面ABCDADAB,其中ABAA1=2,ADDC=1.NB1C1的中点,MDD1的中点.
(1)求证D1N∥平面CB1M
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值.

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1.5
166642. (2024•高新一中•高三上五月) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:1.5
166893. (2024•高新一中•五模) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:1.5
169330. (2025•西安八十五中•高二上期末) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1CAB=3,BC=5.
(1)求证:BB1⊥平面ABC
(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值.

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1.5
171028. (2025•高新一中•高二下期中) 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2菱形,∠ADC=60°,EF分别是ABPD的中点.
(1)求证:EF∥平面PBC
(2)若PCABPCPB=2,求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1.5
171047. (2025•高新一中•高二下期中) 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2菱形,∠ADC=60°,EF分别是ABPD的中点.
(1)求证:EF∥平面PBC
(2)若PCABPCPB=2,求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1.5
171067. (2024•高新一中•高二上期中) 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCDADCDADBCPAADCD=2,BC=3,EPD的中点,点FPC上,且
(1)求证:AE⊥平面PCD
(2)求二面角FAED的正弦值;
(3)设点GPB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.

共享时间:2024-11-27 难度:2 相似度:1.5
171395. (2023•西安中学•高二上期中) 中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFECDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EFABAB=2EFEAEDFBFC=3.
(1)当点N为线段AD的中点时,求证:直线AD⊥平面EFN
(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1.5
169312. (2025•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥ABCDE中,ABACCD=2BE=4,BECDCDCBABAC,平面ABC⊥平面BCDEOBC中点.
(1)证明:AO⊥平面BCDE
(2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值;
(3)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?如果不存在,请说明理由;如果存在,求的值.

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:1.33

dygzsxyn

2024-12-24

高中数学 | 高三上 | 解答题

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2020*西工大*期末
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