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166329. (2024•西安中学•高二上二月) 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCDPB与底面ABCD所成角为45°,底面ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,AD=2,PABC=1.
(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;
(2)求平面PCD与平面PBA所成角的余弦值;

共享时间:2024-12-23 难度:2
[考点]
空间向量法求解直线与平面所成的角,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,
[答案]
(1); (2)
[解析]
解:(1)由题意得ABADAP两两垂直,
PB与底所成的角为45°,得∠PBA=45°,
ABPA=1,
A为坐标原点,ABADAP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,如图,

B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,1,0),
=(1,0,﹣1),=(1,1,﹣1),=(0,2,﹣1),
设平面PCD的法向量为=(xyz),
,取y=1,得=(1,1,2),
PB与平面PCD所成角为ρ,
则sinρ=|cos<>|=
PB与平面PCD所成角的正弦值为
(2)根据题意易知平面PBA的一个法向量为=(0,1,0),
由(1)知,平面PCD的一个法向量为=(1,1,2),
设平面PCD与平面PBA所成角为θ,
则cosθ=|cos<>|=
[点评]
本题考查了"空间向量法求解直线与平面所成的角,空间向量法求解二面角及两平面的夹角,",属于"必考题",熟悉题型是解题的关键。
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166447. (2024•西工大附中•高三上二月) 已知边长为4的菱形ABCD(如图1),BD相交于点OE为线段AO上一点,将三角形ABD沿BD折叠成三棱锥ABCD(如图2).
(1)证明:BDCE
(2)若三棱锥ABCD的体积为8,二面角BCEO的余弦值为,求OE的长.

共享时间:2024-12-24 难度:1 相似度:1.5
166274. (2024•师大附中•高二上一月) 如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为边长为2的正三角形,AA1=3,DAC中点,点E在棱CC1上,且CE=λCC1,0<λ<1.
(1)当时,求证A1E⊥平面BDE
(2)设O1为底面A1B1C1的中心,求直线CO1与平面BDE所成角的正弦值的最大值,并求取得最大值时λ的值.

共享时间:2024-10-30 难度:2 相似度:1
166506. (2024•铁一中学•高二上二月) 如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为矩形,A1B1的中点,且EBEDC1EBE
(1)证明:①C1E⊥平面BDE
EAEC
(2)若AB1=3,求平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值.

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1
166525. (2024•城关中学•高二上二月) 已知四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD为梯形,ABCDA1A⊥平面ABCDADAB,其中ABAA1=2,ADDC=1.NB1C1的中点,MDD1的中点.
(1)求证D1N∥平面CB1M
(2)求平面CB1M与平面BB1CC1的夹角余弦值.

共享时间:2024-12-24 难度:2 相似度:1
166642. (2024•高新一中•高三上五月) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-12-26 难度:2 相似度:1
166893. (2024•高新一中•五模) 如图,在四棱锥PABCD中,PC⊥平面ABCD,△ABC是边长为的等边三角形,AD=2,
(1)证明:平面PCD⊥平面PBC
(2)若平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为,求PC的长.

共享时间:2024-05-13 难度:2 相似度:1
169330. (2025•西安八十五中•高二上期末) 如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1CAB=3,BC=5.
(1)求证:BB1⊥平面ABC
(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值.

共享时间:2025-02-15 难度:2 相似度:1
170145. (2023•铁一中学•高二下期末) 如图,已知三棱柱ABCA1B1C1,∠ACB=90°,AC1A1CD为线段A1C上的动点,AC1BD
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面ABC
(2)若AA1ACD为线段A1C的中点,AC=2BC=2,求B1D与平面A1BC所成角的余弦值.

共享时间:2023-07-12 难度:2 相似度:1
171028. (2025•高新一中•高二下期中) 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2菱形,∠ADC=60°,EF分别是ABPD的中点.
(1)求证:EF∥平面PBC
(2)若PCABPCPB=2,求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.

共享时间:2025-04-23 难度:2 相似度:1
171047. (2025•高新一中•高二下期中) 如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2菱形,∠ADC=60°,EF分别是ABPD的中点.
(1)求证:EF∥平面PBC
(2)若PCABPCPB=2,求平面PAD与平面PBC所成角的余弦值.

共享时间:2025-04-30 难度:2 相似度:1
171067. (2024•高新一中•高二上期中) 如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCDADCDADBCPAADCD=2,BC=3,EPD的中点,点FPC上,且
(1)求证:AE⊥平面PCD
(2)求二面角FAED的正弦值;
(3)设点GPB上,且.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.

共享时间:2024-11-27 难度:2 相似度:1
171395. (2023•西安中学•高二上期中) 中国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFECDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EFABAB=2EFEAEDFBFC=3.
(1)当点N为线段AD的中点时,求证:直线AD⊥平面EFN
(2)当点N在线段AD上时(包含端点),求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围.

共享时间:2023-11-16 难度:2 相似度:1
166604. (2024•华清中学•高二上二月) 如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCDPAAB=2.
(1)求证:AD∥平面PBC
(2)求直线BD平面PCD夹角的正弦值;
(3)求点B到平面PCD的距离.

共享时间:2024-12-25 难度:3 相似度:0.83
166757. (2024•建大附中•一模) 如图,在九面体ABCDEFGH中,平面AGF⊥平面ABCDEF,平面AFG∥平面HCDAB=6,底面ABCDEF为正六边形.
(1)证明:GH∥平面ABCDEF
(2)证明:GH⊥平面AFG
(3)求GE与平面ABG所成角的正弦值.

共享时间:2024-03-13 难度:3 相似度:0.83
169312. (2025•铁一中学•高二上期末) 如图,在四棱锥ABCDE中,ABACCD=2BE=4,BECDCDCBABAC,平面ABC⊥平面BCDEOBC中点.
(1)证明:AO⊥平面BCDE
(2)求平面ABC与平面ADE夹角的余弦值;
(3)线段AC上是否存在一点Q,使OQ∥平面ADE?如果不存在,请说明理由;如果存在,求的值.

共享时间:2025-02-12 难度:3 相似度:0.83

dygzsxyn

2024-12-23

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2020*西工大*期末
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